第四章平面一般力系介绍

第四章平面一般力系平面一般力系：作用在物体上的力的作用线都分布在同一平面内(或近似地分布在同一平面内)，并呈任意分布的力系。注：当物体所受的力都对称于某一平面时，也可将它视作平面任意力系问题。[例]§4-1工程中的平面一般力系问题附加力偶的矩为定理：可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。证明：A点力力系，，B点力附加力偶§4-2力线平移定理①力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力力+力偶注：②力平移的条件是附加一个力偶M，且M与d有关，M=F•d③力线平移定理是力系简化的理论基础。平面任意力系，例如力系，，力的平移定理平面内任取一点O，称为简化中心点O的力，，（平面汇交力系）附加力偶（平面力偶系）§4-3平面一般力系向一点简化主矢与主矩分别合成这两个力系（原来各力的矢量和）（原来各力对点O的矩的代数和）在一般情形下，平面一般力系向作用面内任选一点O简化可得一个力和一个力偶。这个力等于该力系的主矢，即平面一般力系中所有各力的矢量和作用线通过简化中心O；这个力偶的矩等了该力系对于点O的主矩，即这些力对于任选简化中心O的矩的代数和注：1.主矢与简化中心的选择无关。2.一般情况下主矩与简化中心的选择有关。以后说到主矩时，必须指出是力系对于哪一点的主矩。取坐标系Oxy主矢大小方向余弦固定端或插入端支座车刀夹持在刀架上工件夹持在卡盘上简图注：固定端支座除了限制物体在水平方向和铅直方向移动外，还能限制物体在平面内转动。在平面问题中固定端支座对物体的作用力构成一平面任意力系向作用平面内点A简化得到一个力和一个力偶约束反作用可简化为两个约束反力、和一个矩为的约束反力偶重力坝受力情形如图所示。设，，,。求力系的合力的大小和方向余弦、合力与基线OA的交点到点O的距离x，以及合力作用线方程。解：(1)将力系向点O简化。主矢的大小为方向余弦为则有故主矢在第四象限内，与x轴的夹角为。力系对点O的主矩为§4-4简化结果分析合力矩定理1．平面任意力系简化为一个力偶的情形作用于简化中心O的力相互平衡附加的力偶系并不平衡，可合成为一个力偶，合力偶矩为注：此种情况下主矩与简化中心的选择无关。2．平面一般力系简化为一个合力的情形·合力矩定理附加力偶系互相平衡。有一个与原力系等效的合力，作用线通过选定的简化中心O。①②合力矢等于主矢注：合力的作用线在点O的哪一侧，需根据主矢和主矩的方向确定。平面任意力系的合力矩定理平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。证明：平面任意力系对简化中心O的主矩合力对点O的矩所以得证3．平面任意力系平衡的情形例：如图所示圆柱直齿轮，受到啮合力的作用。设＝1400N。压力角。齿轮的节圆(啮合圆)的半径r＝60mm，试计算力对于轴心O的力矩。解：解法一力对于轴心O的力矩其中力臂，故解法二根据合力矩定理例：如图所示的踏板，各杆自重不计。已知：力F及其与x轴的夹角α，力作用点B坐标，距离l。试求平衡时水平杆CD的拉力。解：取整体为研究对象。平衡方程利用合力矩定理求得例水平梁AB受按三角形分布的载荷作用，如图所示。载荷的最大值为q，梁长l。试求合力作用线的位置。解：在梁上距A端为x的微段dx上，作用力的大小为，其中为该处的载荷强度，大小为因此分布载荷的合力的大小为根据合力矩定理得计算结果说明：合力大小等于三角形线分布载荷的面积，合力作用线通过该三角形的几何中心。§4-5平面一般力系的平衡条件和平衡方程平面一般力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零。充分性：作用于简化中心O的汇交力系为平衡力系原力系必为平衡力系必要性：合力或合力偶（不平衡）主矢与主矩都不等于零力系平衡附加力偶系也是平衡力系主矢和主矩有一个不等于零一个合力平面一般力系平衡的充要条件是：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零．以及各力对于任意点的矩的代数和也等于零。平面一般力系平衡的必要和充分条件平面一般力系的平衡方程(一矩式)（三个方程，求解三个未知数）支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C相联接，并各以铰链A、D连接于铅直墙上。如图所示。已知AC＝CB；杆DC与水平线成角；载荷P＝10kN，作用于B处。设梁和杆的重量忽略不计，求铰链A的约束反力和杆DC所受的力。解：(1)取AB梁为研究对象。(3)列平衡方程。(2)画受力图。(c)(a)(b)(4)解方程。由式(c)可得代人式(a)、(b)，得合成，得(a)(b)(c)式中负号表明，约束反力、的方向与图中所设的方向相反。起重机重，可绕铅直轴AB转动；起重机的挂钩上桂一重为的重物。起重机的重心C到转动轴的距离为1.5m，其它尺寸如图所示。求在止推轴承A和轴承B处的反作用力。解：以起重机为研究对象。解得为负值，说明它的方向与假设的方向相反，即应指向左。解得如图所示的水平横梁AB，A端为固定铰链支座，B端为一滚动支座。梁的长为4a，梁重P，作用在梁的中点C。在梁的AC段上受均布载荷q作用，在梁的BC段上受力偶作用，力偶矩M＝Pa。试求A和B处的支座反力。解：选梁AB为研究对象。平面一般力系平衡方程的其它两种形式二矩式注：其中x轴不得垂直于A、B两点的连线。力系简化为经过点A的一个力或者平衡。力系有一合力沿A、B两点的连线，或者平衡合力必与x轴垂直或平衡x轴不得垂直于A、B两点的连线三矩式注：A、B、C三点不得共线。A、B、C三点不得共线。力系简化为经过点A的一个力或者平衡。力系有一合力沿A、B两点的连线，或者平衡力系有一合力沿A、B、C三点的连线，或者平衡注：1.在平面任意力系情形下，矩心应取在两未知力的交点上，而坐标轴应当与尽可能多的未知力相垂直。2.一矩式、二矩式、三矩式三组方程都可用来解决平面任意力系的平衡问题。3.对于受平面任意力系作用的单个刚体的平衡问题，只可以写出三个独立的平衡方程，求解三个未知量。任何第四个方程只是前三个方程的线性组合，因而不是独立的。我们可以利用这个方程来校核计算的结果。§4-6平面平行力系的平衡方程平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。如图所示，设物体受平面平行力系的作用。平行力系的独立平衡方程的数目只有两个，即：注：其中A、B两点的连线不得与各力平行。或已知：F=20kN,M=16kN·m,q=20kN/m,a=0.8m求：A、B的支反力。解：以AB梁为研究对象。解得：塔式起重机如图所示。机架重作用线通过塔架的中心。最大起重量，最大悬臂长为12m，轨道AB的间距为4m。平衡荷重，到机身中心线距离为6m。试问：(1)保证起重机在满载和空载时都不致翻倒，求平衡荷重应为多少?解:(1)当满载时，为使起重机不绕点B翻倒。在临界情况下。当空载时，为使起重机不绕点A翻倒。在临界情况下。(2)当平衡荷重时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？解:(2)根据平面平行力系的平衡方程，有：解得利用多余的不独立方程，来校验以上计算结果是否正确。结果相同，说明计算无误。解得§4-7静定和静不定问题的概念力偶系平面任意力系（两个独立方程）平面汇交力系（一个独立方程）（三个独立方程）注：独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题（可求解）独立方程数目未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）对子静不定问题，必须考虑物体因受力作用而产生的变形，加列某些补充方程。静不定问题已超出刚体静力学的范围，须在材料力学和结构力学中研究。受平面任意力系作用的由n个物体组成的物体系，有3n个独立方程。外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。解物系问题的一般方法：由整体局部（常用），由局部整体（用较少）内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。注：在选择研究对象和列平衡方程时，应使每一个平衡方程中的未知量个数尽可能少，最好是只含有一个未知量，以避免求解联立方程。§4-8物系的平衡如图所示为曲轴冲床简图，由轮I、连杆AB和冲头B组成。A、B两处为铰链连接。OA＝R，AB＝l。如忽略摩擦和物体的自重，当OA在水平位置、冲压力为F时系统处于平衡状态。求：(1)作用在轮I上的力偶之矩M的大小；(2)轴承O处的约束反力；(3)连杆AB受的力；(4)冲头给导轨的侧压力。解：(1)以冲头为研究对象。解得连杆受压力，大小等于FB冲头对导轨的侧压力的大小等于FN(2)以轮I为研究对象。解得负号说明，力FOx、FOy的方向与图示假设的方向相反。如图所示的组合梁由AC和CD在C处铰接而成。梁的A端插入墙内，B处为滚动支座。己知：F＝20kN，均布载荷q＝10kN／m，M＝20，l＝1m。试求插入端A及滚动支座B的约束反力。解：先以整体为研究对象。以上三个方程中包含有四个未知量。必须再补充方程才能求解。取CD为研究对象。解得齿轮传动机构如图所示。齿轮I的半径为r，自重。齿轮II的半径为R＝2r，其上固结一半径为r的塔轮III，轮II与III共重。齿轮压力角为，被提升的物体C重。求：(1)保持物C匀速上升时，作用于轮I上力偶的矩M；(2)光滑轴承A、B的约束反力。解：先取轮II、III及重物C为研究对象。齿轮间的啮合力Fn可沿节圆的切向及径向分解为圆周力F和径向力Fr。或压力角定义解出取轮I为研究对象解得如图所示为钢结构拱架，拱架由两个相同的钢架AC和BC用铰链C连接，拱脚A、B用铰链固结于地基，吊车梁支承在钢架的突出部分D、E上。设两钢架各重为P＝60kN；吊车梁重为，其作用线通过点C；载荷为；风力F＝10kN。尺寸如图所示。D、E两点在力P的作用线上。求固定铰支座A和B的约束反力。解（1）选整个拱架为研究对象。以上三个方程包含四个未知数，必须再补充一个独立的方程。(2)选右边钢架为研究对象。这时又出现了一个未知数FE。为求得该力的大小。解得再考虑吊车梁的平衡。如图所示，已知重力，DC＝CE＝AC=CB＝2l；定滑轮半径为R，动滑轮半径为r，且R＝2r＝l，。试求：A、E支座的约束反力及BD杆所受的力。解：取整体为研究对象。解得取杆DCE为研究对象。其中解得解：选整体研究受力如图选坐标、取矩点、Bxy,B点列方程为:解方程得①②③④例:已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1000N，AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。求AC杆内力？B点的反力？受力如图取E为矩心，列方程解方程求未知数①②③④再研究CD杆例已知：F各杆重量不计。求：A、B和D约束反力？解：以整体为研究对象(求不出XB)我们已经求出YB，下一步应选取谁做为研究对象呢(三个未知数)(五个未知数)(四个未知数)以DEF为研究对象(可以求出NE)以ADB为研究对象例已知：连续梁上，P=10kN,Q=50kN,CE铅垂,不计梁重求：A,B和D点的反力（看出未知数多余三个，不能先整体求出，要拆开）解：①研究起重机③再研究整体②再研究梁CD例.图示三铰拱，载荷和尺寸如图。求铰链A、B的约束力。三铰拱整体分析力：P,Q,XA,YA,XB,YB列方程：取左半部为研究对象分析力：P,XA,YA,XC,YC代入第三式解得解：研究对象：例图示静定多跨梁由AB梁和BC梁用中间铰B连接而成，支撑和载荷情况如图所示。已知P=20kN，q=5kN/m，a=45o；求支座A,C的反力和中间铰B处的压力。ABPC2m1m1mqPBCxyXBYBNC解:(1)研究BC梁，画出受力图；(2)列平衡方程；解得：QXAYAABxyX’BY’BMA(3)研究AB梁，画受力图并列平衡方程；解得：例图示静定多跨梁由AB梁和BC梁用中间铰B连接而成，支撑和载荷情况如图所示。已知P=20kN，q=5kN/m，a=45o；求支座A,C的反力和中间铰B处的压力。ABPC2m1m1mq例图示为一三角钢架，由AC和CB两个桁架通过中间铰C连接而成。若铰支座A和B为等高程，桁架重量G1=G2=G3，在左边桁架上作用一水平风压力P，尺寸l、H、a和h为已知：求铰支座A、B的反力和中间铰C处的压力。解:(1)研究整体，画受力图，列平衡方程；解得：(2)研究CB，画受力图，列平衡方程；解得：例