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利用椭圆中相关点法探求直线的斜率问题1.在平面直角坐标系xOy中,已知过椭圆C:x24+y23=1右焦点F的直线l与椭圆C交于P,Q两点(点P位于x轴上方).若QF=2FP,则点P的坐标为________.2.设O为坐标原点,动点M在椭圆C:x22+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足NP→=2NM→,则点P的轨迹方程是________.3.过点M(1,-1)的直线l与椭圆C:x24+y23=1相交于A,B两点,若点M恰好是线段AB的中点,则直线l的方程为________.4.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x24+y2=1的离心率为32,左、右焦点分别是F1,F2,以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.设椭圆E:x24a2+y24b2=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.则OQOP的值为________.5.已知直线l经过椭圆C:x22+y2=1的左焦点F,且交椭圆于A,B两点,与y轴交于点P,且满足PA→=λAF→,PB→=μBF→.则λ+μ=________.6.已知椭圆x24+y23=1,动直线l与椭圆交于B,C两点(B在第一象限),设B(x1,y1),C(x2,y2),且3y1+y2=0,当△OBC面积最大时,直线l的方程为________.7.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为23,C为椭圆上位于第一象限内的一点.(1)若点C的坐标为2,53,求a,b的值;(2)设A为椭圆的左顶点,B为椭圆上一点,且AB→=12OC→,求直线AB的斜率.8.如图,在平面直角坐标系xOy中,焦点在x轴上的椭圆C:x28+y2b2=1经过点(b,2e),其中e为椭圆C的离心率.过点T(1,0)作斜率为k(k>0)的直线l交椭圆C于A,B两点(A在x轴下方).(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M,N,求AT·BTMN2的值;(3)记直线l与y轴的交点为P.若AP→=25TB→,求直线l的斜率k.1.答案:74,358.解析:由QF=2FP可知QF→=2FP→,设出点P的坐标,进而利用QF→=2FP→,求出点Q的坐标,然后将点P和Q坐标代入椭圆方程中即可求得P74,358.2.答案:x2+y2=2.解析:设出点P,表示出点M,代入椭圆方程即可求得x2+y2=2.3.答案:3x-4y-7=0.解析:设出点A的坐标进而利用条件求出点B的坐标,然后将点A和B坐标代入椭圆方程中即可求得A.进而可求得直线l的方程为3x-4y-7=0.4.答案:2.解析:由题意,椭圆C的标准方程为x24+y2=1,所以椭圆E的方程为x216+y24=1,设P(x0,y0),OQOP=λ,由题意知Q(-λx0,-λy0),因为x024+y02=1,又(-λx0)216+(-λy0)24=1,即λ24x024+y02=1,所以λ=2,即OQOP=2.5.答案:-4.解析:由题设知,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x+1),则P(0,k).设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l代入椭圆得x2+2k2(x+1)2=2,整理得,(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,所以x1+x2=-4k21+2k2,x1x2=2k2-21+2k2.由PA→=λAF→,PB→=μBF→知,λ=-x11+x1,μ=-x21+x2,所以λ+μ=-x1+x2+2x1x21+x1+x2+x1x2=--4k21+2k2+4k2-41+2k21+-4k21+2k2+2k2-21+2k2=--4-1=-4(定值).6.答案:y=3x-302.解析:显然,当直线l与y轴不垂直时,设直线l的方程为x=my+n.x24+y23=1,x=my+n,消去x并整理得(3m2+4)y2+6mny+3n2-12=0.所以Δ>0,y1+y2=-6nm3m2+4,y1y2=3n2-123m2+4,因为3y1+y2=0,所以y1=3nm3m2+4,y12=4-n23m2+4.从而9n2m2(3m2+4)2=4-n23m2+4,即n2=3m2+43m2+1.所以S△OBC=12|n||y1-y2|=6|m|3m2+1,因为B在第一象限,所以x1>0,y1>0,所以m>0,n>0.所以S△OBC=6m3m2+1=63m+1m≤3,当且仅当3m=1m时,即m=33等号成立,此时n=102,所以直线l的方程为y=3x-302.7.答案:(1)a=3,b=5;(2)533.解析:(1)因为椭圆的离心率为23,所以a2-b2a=23,即b2a2=59.①又因为点C2,53在椭圆上,所以4a2+259b2=1.②由①②解得a2=9,b2=5.因为a>b>0,所以a=3,b=5.(2)由(1)可知,椭圆方程为5x2+9y2=5a2,则A(-a,0).设B(x1,y1),C(x2,y2).由AB→=12OC→,得(x1+a,y1)=12x2,12y2,所以x1=12x2-a,y1=12y2.因为点B,点C都在椭圆5x2+9y2=5a2上,所以错误!解得x2=a4,y2=5a43,所以直线AB的斜率k=y2x2=533.8.答案:(1)C的方程为x28+y24=1.(2)732.(3)k=2.解析:(1)因为椭圆x28+y2b2=1经过点(b,2e),所以b28+4e2b2=1.因为e2=c2a2=c28,所以b28+c22b2=1.因为a2=b2+c2,所以b28+8-b22b2=1.整理得b4-12b2+32=0,解得b2=4或b2=8(舍去).所以椭圆C的方程为x28+y24=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).因为T(1,0),则直线l的方程为y=k(x-1).联立直线l与椭圆方程y=k(x-1),x28+y24=1,消去y,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-8=0,所以x1+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2-82k2+1.因为MN∥l,所以直线MN方程为y=kx,联立直线MN与椭圆方程y=kx,x28+y24=1,消去y,得(2k2+1)x2=8,解得x2=82k2+1.因为MN∥l,所以AT·BTMN2=(1-x1)·(x2-1)(xM-xN)2.因为(1-x1)·(x2-1)=-[x1x2-(x1+x2)+1]=72k2+1,(xM-xN)2=4x2=322k2+1,所以AT·BTMN2=(1-x1)·(x2-1)(xM-xN)2=72k2+1·2k2+132=732.(3)在y=k(x-1)中,令x=0,则y=-k,所以P(0,-k),从而AP→=(-x1,-k-y1),TB→=(x2-1,y2).因为AP→=25TB→,所以-x1=25(x2-1),即x1+25x2=25.由(2)知,x1+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2-82k2+1.由x1+x2=4k22k2+1,x1+25x2=25,解得x1=-4k2+23(2k2+1),x2=16k2-23(2k2+1).因为x1x2=2k2-82k2+1,所以-4k2+23(2k2+1)×16k2-23(2k2+1)=2k2-82k2+1,整理得50k4-83k2-34=0,解得k2=2或k2=-1750(舍去).又因为k>0,所以k=2.
本文标题:利用椭圆中相关点法探求直线的斜率问题专题
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