利用椭圆中相关点法探求直线的斜率问题专题

利用椭圆中相关点法探求直线的斜率问题1.在平面直角坐标系xOy中，已知过椭圆C：x24＋y23＝1右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P位于x轴上方)．若QF＝2FP，则点P的坐标为________．2．设O为坐标原点，动点M在椭圆C：x22＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP→＝2NM→，则点P的轨迹方程是________．3．过点M(1，－1)的直线l与椭圆C：x24＋y23＝1相交于A，B两点，若点M恰好是线段AB的中点，则直线l的方程为________．4．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x24＋y2＝1的离心率为32，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．设椭圆E：x24a2＋y24b2＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.则OQOP的值为________．5．已知直线l经过椭圆C：x22＋y2＝1的左焦点F，且交椭圆于A，B两点，与y轴交于点P，且满足PA→＝λAF→，PB→＝μBF→.则λ＋μ＝________．6．已知椭圆x24＋y23＝1，动直线l与椭圆交于B，C两点(B在第一象限)，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，且3y1＋y2＝0，当△OBC面积最大时，直线l的方程为________．7.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为23，C为椭圆上位于第一象限内的一点．(1)若点C的坐标为2，53，求a，b的值；(2)设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且AB→＝12OC→，求直线AB的斜率．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：x28＋y2b2＝1经过点(b，2e)，其中e为椭圆C的离心率．过点T(1，0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(A在x轴下方)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求AT·BTMN2的值；(3)记直线l与y轴的交点为P.若AP→＝25TB→，求直线l的斜率k.1．答案：74，358.解析：由QF＝2FP可知QF→＝2FP→，设出点P的坐标，进而利用QF→＝2FP→，求出点Q的坐标，然后将点P和Q坐标代入椭圆方程中即可求得P74，358.2．答案：x2＋y2＝2.解析：设出点P，表示出点M，代入椭圆方程即可求得x2＋y2＝2.3．答案：3x－4y－7＝0.解析：设出点A的坐标进而利用条件求出点B的坐标，然后将点A和B坐标代入椭圆方程中即可求得A.进而可求得直线l的方程为3x－4y－7＝0.4．答案：2.解析：由题意，椭圆C的标准方程为x24＋y2＝1，所以椭圆E的方程为x216＋y24＝1，设P(x0，y0)，OQOP＝λ，由题意知Q(－λx0，－λy0)，因为x024＋y02＝1，又（－λx0）216＋（－λy0）24＝1，即λ24x024＋y02＝1，所以λ＝2，即OQOP＝2.5．答案：－4.解析：由题设知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，则P(0，k)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l代入椭圆得x2＋2k2(x＋1)2＝2，整理得，(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，所以x1＋x2＝－4k21＋2k2，x1x2＝2k2－21＋2k2.由PA→＝λAF→，PB→＝μBF→知，λ＝－x11＋x1，μ＝－x21＋x2，所以λ＋μ＝－x1＋x2＋2x1x21＋x1＋x2＋x1x2＝－－4k21＋2k2＋4k2－41＋2k21＋－4k21＋2k2＋2k2－21＋2k2＝－－4－1＝－4(定值)．6．答案：y＝3x－302.解析：显然，当直线l与y轴不垂直时，设直线l的方程为x＝my＋n.x24＋y23＝1，x＝my＋n，消去x并整理得(3m2＋4)y2＋6mny＋3n2－12＝0.所以Δ＞0，y1＋y2＝－6nm3m2＋4，y1y2＝3n2－123m2＋4，因为3y1＋y2＝0，所以y1＝3nm3m2＋4，y12＝4－n23m2＋4.从而9n2m2（3m2＋4）2＝4－n23m2＋4，即n2＝3m2＋43m2＋1.所以S△OBC＝12|n||y1－y2|＝6|m|3m2＋1，因为B在第一象限，所以x1＞0，y1＞0，所以m＞0，n＞0.所以S△OBC＝6m3m2＋1＝63m＋1m≤3，当且仅当3m＝1m时，即m＝33等号成立，此时n＝102，所以直线l的方程为y＝3x－302.7．答案：(1)a＝3，b＝5；(2)533.解析：(1)因为椭圆的离心率为23，所以a2－b2a＝23，即b2a2＝59.①又因为点C2，53在椭圆上，所以4a2＋259b2＝1.②由①②解得a2＝9，b2＝5.因为a＞b＞0，所以a＝3，b＝5.(2)由(1)可知，椭圆方程为5x2＋9y2＝5a2，则A(－a，0)．设B(x1，y1)，C(x2，y2)．由AB→＝12OC→，得(x1＋a，y1)＝12x2，12y2，所以x1＝12x2－a，y1＝12y2.因为点B，点C都在椭圆5x2＋9y2＝5a2上，所以错误!解得x2＝a4，y2＝5a43，所以直线AB的斜率k＝y2x2＝533.8．答案：(1)C的方程为x28＋y24＝1.(2)732.(3)k＝2.解析：(1)因为椭圆x28＋y2b2＝1经过点(b，2e)，所以b28＋4e2b2＝1.因为e2＝c2a2＝c28，所以b28＋c22b2＝1.因为a2＝b2＋c2，所以b28＋8－b22b2＝1.整理得b4－12b2＋32＝0，解得b2＝4或b2＝8(舍去)．所以椭圆C的方程为x28＋y24＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为T(1，0)，则直线l的方程为y＝k(x－1)．联立直线l与椭圆方程y＝k（x－1），x28＋y24＝1，消去y，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－8＝0，所以x1＋x2＝4k22k2＋1，x1x2＝2k2－82k2＋1.因为MN∥l，所以直线MN方程为y＝kx，联立直线MN与椭圆方程y＝kx，x28＋y24＝1，消去y，得(2k2＋1)x2＝8，解得x2＝82k2＋1.因为MN∥l，所以AT·BTMN2＝（1－x1）·（x2－1）（xM－xN）2.因为(1－x1)·(x2－1)＝－[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝72k2＋1，(xM－xN)2＝4x2＝322k2＋1，所以AT·BTMN2＝（1－x1）·（x2－1）（xM－xN）2＝72k2＋1·2k2＋132＝732.(3)在y＝k(x－1)中，令x＝0，则y＝－k，所以P(0，－k)，从而AP→＝(－x1，－k－y1)，TB→＝(x2－1，y2)．因为AP→＝25TB→，所以－x1＝25(x2－1)，即x1＋25x2＝25.由(2)知，x1＋x2＝4k22k2＋1，x1x2＝2k2－82k2＋1.由x1＋x2＝4k22k2＋1，x1＋25x2＝25，解得x1＝－4k2＋23（2k2＋1），x2＝16k2－23（2k2＋1）.因为x1x2＝2k2－82k2＋1，所以－4k2＋23（2k2＋1）×16k2－23（2k2＋1）＝2k2－82k2＋1，整理得50k4－83k2－34＝0，解得k2＝2或k2＝－1750(舍去)．又因为k＞0，所以k＝2.