基本的投资组合模型

信息光电子科技学院数学建模1基本的投资组合模型摘要在市场经济活动中，投资成为了一个必不可少的环节。特别是如今物价上涨迅猛，人们生活水平逐渐提高，如何通过投资来获取更多的经济利益已成为一个社会的共同话题。也只有通过投资，消费者才能拥有多渠道的经济来源从而提高生活水平。投资方式的多样性决定了人们在投资过程中投资组合的多样性。而每一项投资在有其收益效果的同时也伴随着风险性，所以不同的投资组合方式将带来不同的效果。对于不同类型的投资者必然有不同的要求，从而适合不同的投资方式，所以意在建立在不同投资者的不同要求下应采用哪种投资方式的模型，使投资者能做出正确的选择。关键词：股市；组合投资；均值；方差；收益；风险目录一、问题重述与分析.......................................................................................................................2二、符号说明...................................................................................................................................3三、模型假设...................................................................................................................................3四、模型的建立与求解...................................................................................................................4五、模型的分析和检验...................................................................................................................9六、模型评价...................................................................................................................................9七、参考文献.................................................................................................................................10八、附录.........................................................................................................................................10信息光电子科技学院数学建模2一、问题重述与分析1.1问题重述本案例中以投资股票为例，分析股票的选取和赢利问题。在股票市场上往往会有很多股票，每个股票都会有其对应所属的公司，公司的运作现况以及其未来在市场上的潜力都会影响该股票在股票市场的上涨或下跌，所以每一只股票都会有其内在的风险性。但是，对于不同股票，也就对应不同实力，不同前景的公司其收益性和风险性也会有所不同，所以不同的投资组合，以及每种组合中不同投入资金比例，将会造成其不同的收益效果。1.2问题分析在充满风险和机会的证券市场中，无论是个人还是机构投资者在进行证券投资时，总是以投入资金的安全性和流动性为前提，合理的运用投资资金，达到较小风险、较高收益的目的。投资于高收益的证券，很可能获得较高的投资回报；但是，高收益往往伴随着高风险，低风险常又伴随着低收益。如果投资者单独投资于某一种有价证券，那么一旦该有价证券的市场价格出现较大波动，投资者将蒙受较大的损失，所以，稳健的投资方法是将资金分散地投资到若干种收益和风险都不同的有价证券上，以“证券组合投资”的方式来降低风险。在马科维茨的组合投资模型中，数学期望代表着预期收益，方差或标准差代表着风险，协方差代表着资产之间的相互关系，进而资产组合的预期收益是资产组合中所有资产收益的简单加权平均，而资产组合的方差则为资产方各自方差与它们之间协方差的加权平均。确定最小方差资产组合首先要计算构成资产组合的单个资产的收益、风险及资产之间的相互关系，然后，计算资产组合的预期收益和风险。因此，研究证券投资组合的优化模型就显得十分重要了。对于我们的日常经济生活而言，也有了研究的实践意义。风险可以用收益的方差（或标准差）来进行衡量：方差越大，则认为风险越小。在一定的假设下用收益的方差（或标准差）来衡量风险确实是合适的。1.3问题提出案例美国某三种股票（A，B，C）12年（1943—1954）的价格（已经包括了粉红在内）每年的增长情况如表6—6所示（表中还给出了相应年份的500种股票的价格指数的增长情况）。例如，表中第一个数据1.300的含义是股票A在1943年末价值是其年初价值的1.300倍，即收益为30%，其余数据的含义依此类推。假设你在1955年时有一笔资金准备投资这三种股票，并期望年收益率至少达到15%，那么你应当如何投资？当期望的年收益率变化时，投资组合和相应的风险如何变化？表：股票收益数据年份股票A股票B股票C股票指数19431.3001.2251.1491.25899719441.1031.2901.2601.19752619451.2161.2161.4191.36436119460.9540.7280.9220.91928719470.9291.1441.1691.05708019481.0561.1070.9651.05501219491.0381.3211.1331.18792519501.0891.3051.7321.317130信息光电子科技学院数学建模319511.0901.1951.0211.24016419521.0831.3901.1311.18367519531.0351.9281.0060.99010819541.1761.7151.9081.526236二、符号说明a1，a2，a3股票A，B，C的利率，b1，b2，b3股票A，B，C产生该利率的风险性x1，x2，x3投资者投资股票A，B，C的资金占总投资的比例ɡ投资的可行性h1，h2，h3股票A，B，C分别在1955年的市值三、模型假设模型一（1）股票市场中股票虽然多，但是其他股票的行情或者其他股票背后的公司的运作情况并不会对这三只股票A，B，C造成影响，即该股票的涨跌是独立的。（另一种假设：股票市场中股票虽然多，但大致可分为三类，分别以股票A，B，C为代表，且每一类股票里面的股票收益均相同）（2）股票的收益与其股票价格无关。（3）三只（三种股票）其价格一致，不妨假设三只股票的价格在1955年值为1。（4）假设市场上没有其他投资渠道，且手上资金必须全部用于投资这三种股票。（5）外界环境（如市场上物价的上涨和下跌）并不影响股票市值的涨跌。模型二（1）股票市场中股票虽然多，但是其他股票的行情或者其他股票背后的公司的运作情况并不会对这三只股票A，B，C造成影响，即该股票的涨跌是独立的。（另一种假设：股票市场中股票虽然多，但大致可分为三类，分别以股票A，B，C为代表，且每一类股票里面的股票收益均相同）（2）股票的收益与其股票价格无关。（3）三只（三种股票）其价格一致，不妨假设三只股票的价格在1943年初始值为1。（4）假设市场上没有其他投资渠道，且手上资金必须全部用于投资这三种股票。（5）外界环境（如市场上物价的上涨和下跌）并不影响股票市值的涨跌。模型三（1）股票市场中股票虽然多，但是其他股票的行情或者其他股票背后的公司的运作情况并不会对这三只股票A，B，C造成影响，即该股票的涨跌是独立的。（另一种假设：股票市场中股票虽然多，但大致可分为三类，分别以股票A，B，C为代表，且每一类股票里面的股票收益均相同）信息光电子科技学院数学建模4（2）股票的收益与其股票价格无关。（3）假设市场上没有其他投资渠道，且手上资金必须全部用于投资这三种股票。（4）外界环境（如市场上物价的上涨和下跌）并不影响股票市值的涨跌。四、模型的建立与求解用决出变量x1，x2，x3分别表示投资人投资股票A，B，C的比例。则x1+x2+x3=1。以n=x1*b1+x2*b2+x3*b3表示组合投资的总风险性。H=x1*a1+x2*a2+x3*a3表示总盈利。股票A：（1）根据图表中数据画出散点图。（2）猜想并假设其图像为三次函数：并进行拟合得：p=polyfit(x1,y1,3);Warning:Polynomialisbadlyconditioned.RemoverepeateddatapointsortrycenteringandscalingasdescribedinHELPPOLYFIT.Inpolyfitat81q=polyfit(x1,y1,5)Warning:Polynomialisbadlyconditioned.Removerepeateddatapoints信息光电子科技学院数学建模5ortrycenteringandscalingasdescribedinHELPPOLYFIT.Inpolyfitat81q=1.0e+012*0.0000-0.00000.0000-0.00000.0082-3.1766t=polyfit(x1,y1,2)Warning:Polynomialisbadlyconditioned.RemoverepeateddatapointsortrycenteringandscalingasdescribedinHELPPOLYFIT.由上述结果可以看出，多项式拟合并不适用于本例。（3）为方便预测，故舍去前三年数据，并把数据进行缩小10^3再画散点图（以下计算中统一缩小10^3在拟合）并进行拟合得y=（-1.8182*x*x+7.1128*x-6.9552）*10^3另x=1.955，得y=1.100所以预测股票A在1955年的增长率为1.100然后计算误差平方和r1=sum((polyval(p,x1)-y1).^2)=0.0146。即风险性为0.0146。信息光电子科技学院数学建模6股票B（1）根据图表中数据画出散点图。由图表看出，1946年、1951年和1953年1954年的数据与大体趋势相差甚远，且若用所有数据进行拟合，所得结果为3.18显然与事实不符，所以舍去上述四年的数据，在进行拟合。拟合y=（-0.1435*x*x*x+0.8456*x*x-1.6609*x+1.0873）即1955年股票B可能亏损。计算得再1955年得0.955。然后计算误差平方和r2=sum((polyval(q,x2)-y2).^2)=0.0261股票C（1）根据图表中数据画出散点图。信息光电子科技学院数学建模7（2）尝试根据图表中数据进行三次拟合拟合结果为y=0.2267*x*x*x-1.3245*x*x+2.5790*x-1.6739可算得在1955年利率为-3.12，这与理论偏差较大，因为前12年该股票均处于上升阶段，1954年更是有1.9的高利率。该图表中1946年，1950年数据与总体趋势偏差较大，所以选择舍弃1946年，1950年数据。然后再进行三次拟合得y=0.5524*x*x*x-3.2277*x*x+6.2866*x-4.0814计算得年份为1955年是股票C的利率为1.18。然后计算误差平方和r3=sum((polyval(q