【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件：13.2-导数的应用

§13.2导数的应用本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动考向瞭望把脉高考知能演练轻松闯关目录教材回顾夯实双基基础梳理1．函数的单调性与导数的符号的关系(在某个区间上)导数f′(x)的符号函数f(x)的单调性f′(x)0在该区间内为_________f′(x)0在该区间内为_________f′(x)＝0在该区间内为_________增函数减函数常数函数目录2.函数的极值与最值的辨析(1)定义设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)____f(x0)，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有点，都有f(x)____f(x0)，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值．目录(2)判别f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是_________．②如果在x0附近的左侧_________，右侧_________，那么f(x0)是极小值．(3)函数的最大值与最小值在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值，但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值，例如f(x)＝1x，x∈(0，＋∞)．极大值f′(x)0f′(x)0目录思考探究1．如果f(x)在其定义域内恒有f′(x)0，则f(x)是否一定是其定义域上的增函数？为什么？提示：不一定．因为导数研究的函数的单调性是一个区间概念，如果定义域为一个连续的区间，则一定是增函数，反之，则不一定是增函数，如f(x)＝－1x在其定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)内恒有f′(x)0，f(x)在每个区间上都是递增的，但f(x)不是增函数．目录2．对于函数y＝x3，在x＝0处能取得极值吗？提示：在x＝0处不能取得极值．因为f′(x)＝3x2≥0恒成立．在x＝0两侧单调性没发生变化．目录课前热身答案：D1．函数y＝x－x3的单调递增区间是()A．(－∞，－1)，(1，＋∞)B．(－1,1)C．(－∞，－33)，(33，＋∞)D．(－33，33)目录2．函数f(x)＝x3－3x＋1在[－3,0]上的最大值、最小值分别是()A．1，－1B．1，－17C．3，－17D．9，－19答案：C目录3．(2012·高考福建卷)已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：①f(0)f(1)＞0；②f(0)f(1)＜0；③f(0)f(3)＞0；④f(0)f(3)＜0.其中正确结论的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④解析：选C.∵f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，∴f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝3.依题意有，函数f(x)＝x3－6x2＋9x－abc的图象与x轴有三个不同的交点，故f(1)f(3)＜0，即(1－6＋9－abc)·(33－6×32＋9×3－abc)＜0，∴0＜abc＜4，∴f(0)＝－abc＜0，f(1)＝4－abc＞0，f(3)＝－abc＜0，故②③是对的，应选C.目录4．f(x)＝x(x－b)2在x＝2处有极大值，则常数b的值为_____．答案：6目录5．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单元：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________．解析：y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9(－9舍去)，当0x9时，y′0；当x9时，y′0.则当x＝9时，y取得最大值，故最大年利润的年产量为9万件．答案：9万件目录考点探究讲练互动考点突破考点1用导数研究函数的单调性若函数f(x)为连续函数，使f′(x)0的x的取值区间为f(x)的增区间；使f′(x)0的x的取值区间为f(x)的减区间，注意定义域．目录例1设函数f(x)＝13x3－a2＋22x2＋(a2＋1)x＋6，求f(x)的单调区间．【思路分析】求f′(x)，并求解不等式f′(x)0及f′(x)0.目录【解】f′(x)＝x2－(a2＋2)x＋(a2＋1)＝(x－1)[x－(a2＋1)]．∵a2＋1≥1，∴当a＝0时，f′(x)≥0，∴f(x)在R上为增函数；当a≠0时，a2＋11，∴f′(x)0时，xa2＋1或x1；f′(x)0时，1xa2＋1.∴增区间为(a2＋1，＋∞)，(－∞，1)；减区间为(1，a2＋1)．【名师点评】对于含有参数的函数研究单调性时，要根据参数是否影响f′(x)正负取值来确定是否讨论参数．目录考点2用导数求函数的极值对于求极值的问题，首先明确函数的定义域，并用导数为0的点把定义域分割成几部分，然后列表判断导数在各部分取值的正负，极值点从表中就很清楚地显示出来．目录例2求函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1(a≥1)的极值．【思路分析】求出f′x→求出f′x＝0的根→列表→由表得极值.目录【解】由已知得f′(x)＝6x[x－(a－1)]，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝a－1.①当a＝1时，f′(x)＝6x2，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，f(x)没有极值．②当a1时，f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表：由上表可知：当x＝0时，f(x)有极大值f(0)且f(0)＝1；当x＝a－1，f(x)有极小值f(a－1)且f(a－1)＝1－(a－1)3.综上所述：当a＝1时，f(x)没有极值；当a1时，f(x)的极大值为f(0)＝1.x(－∞，0)0(0，a－1)a－1(a－1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗目录【思维总结】f′(x0)＝0只是x0为极值的必要条件．务必有在x0两侧f(x)单调发生变化，才能确定f(x0)为极值点．目录跟踪训练1．若本例中的函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，在x＝0处取得极值．求a的取值范围．解：由已知得f′(x)＝6x[x－(a－1)]，显然f′(0)＝0恒成立．要使f(x)在x＝0处有极值，则f′(x)＝0必有两个不等根，∴a－1≠0，∴a≠1.目录考点3用导数求函数的最值或值域(1)求闭区间上可导函数的最值时,对函数极值是极大值还是极小值可不再判断,只需直接与端点的函数值比较即可获得．(2)当连续函数的极值只有一个时,相应的极值必为函数的最值.目录例3已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)．(1)求f(x)的导数；(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值．【思路分析】(1)第一问先展开，后对x求导，优于直接按积的导数求导；(2)第二问是利用导数求函数的最值，应注意最大(小)值是函数在f′(x)＝0的根处及端点处值的最大(小)者．目录【解】(1)由原式得f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，∴f′(x)＝3x2－2ax－4.(2)由f′(－1)＝0，得a＝12，此时有f(x)＝(x2－4)(x－12)，f′(x)＝3x2－x－4.由f′(x)＝0，得x＝43或x＝－1.又f(43)＝－5027，f(－1)＝92，f(－2)＝0，f(2)＝0，∴f(x)在[－2,2]上的最大值为92，最小值为－5027.目录【思维总结】此题省去了讨论单调性的过程，因x＝43或x＝－1是极值点．若f′(x)＝0的点不是极值点时，必须要讨论单调性，确定极值．目录跟踪训练2．本例中，若f′(－1)＝0，求f(x)在[0,1]上的值域．解：∵f′(x)＝3x2－2ax－4，由f′(－1)＝0，得a＝12.∴f(x)＝(x2－4)(x－12)．∴f′(x)＝3(x－43)(x＋1)．当f′(x)0时，－1x43，故减区间为(－1，43)．∴f(x)在[0,1]上为减函数．∴f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(1)＝－32，∴x∈[0,1]时，f(x)∈[－32，2]．即值域为[－32，2]．目录考点4生活中的优化问题生活中的利润最大、用料最省等优化问题，可转化为函数最值，结合导数求解．目录某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤5)．(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为－13x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大？(注：收益＝销售额－投入)【思路分析】(1)可直接求关于t的二次函数的最值．(2)中可将收益看作关于x的函数，求其最值．例4目录【解】(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)．∴当t＝2百万元时，f(t)取得最大值4百万元，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)(0≤x≤3)，又设由此而获得的收益是g(x)，则有g(x)＝(－13x3＋x2＋3x)＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－13x3＋4x＋3(0≤x≤3)．目录从而有g′(x)＝－x2＋4，令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2，又当0≤x2，g′(x)0；当2x≤3时，g′(x)0，故g(x)在[0,2]上是增函数，在[2,3]上是减函数．所以当x＝2时，g(x)取得最大值．即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大．【思维总结】在(2)中g(x)只有一个极值，就是其最值．目录方法技巧1．求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)0(或f′(x)0)，解出相应的x的范围．当f′(x)0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)0时，f(x)在相应的区间上是减函数．方法感悟目录2．求可导函数f(x)的极值的步骤(1)求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．已知f(x)在区间(a，b)上的单调性,求参数的范围时．则根据f′(x)≥0或f′(x)≤0在(a，b)内恒成立.注意验证等号是否成立．目录失误防范1．求函数单调区间时，要先求定义域，对于不连续的函数的单调区间不可用“∪”联结合并．2．利用极值求字母参数时，要注意将所求字母参数的值代入验证，是否符合取极值的条件．目录考向瞭望把脉高考命题预测从近两年的高考试题来看，导数的综合应用是高考的热点之一，每年必考且题型多为解答题，题目难易程度属中、高档题，并且多为压轴题．主要是借用导数处理函数的单调性、极值、最值等问题，进而研究函数、数列的有关不等式．在2012年的高考中，各省市考题都对此进行了考查，如大纲全国卷试题，利用极值和单调性求字母参数的取值．江苏卷利用导数与函数极值的关系，在数学思想方法上突出考查数形结合、分类讨论及综合分析问题解决问题的能力．预测2014年导数的综合应用仍是高考的热点，会在一道解答题或压轴题中考查学生借用导数处理综合问题的能力，难度可能中等或较大．目录规范解答(本题满分12分)(2011·高考大纲全国卷)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋(3－6a)x＋12a－4(a∈R)．(1)证明：曲线y＝f(x)在x＝0处的切线过点(2,2)；(2)若f(x)在x＝x0处取得极小值，x0∈(1,3)，求a的取值范围．例目录【解】(1)证明：f′(x)＝3x2