【优化方案】2014届高考数学一轮复习_2.6_指数与指数函数课件

指数与指数函数忆一忆知识要点要点梳理1．指数幂的概念与性质根式的性质(1)(na)n＝__；(2)当n为奇数时，nan＝___，当n为偶数时，nan＝___＝__a≥0____a0；(3)_____没有偶次方根；(4)零的任何次方根都是____.分数指数幂的意义(1)amn＝______(a0，m，n∈N*，且n1)；(2)a－mn＝______(a0，m，n∈N*，且n1)．有理指数幂的运算性质(1)ar·as＝ar＋s(a0，r，s∈Q)，(2)(ar)s＝______(a0，r，s∈Q)，(3)(ab)r＝_______(a0，b0，r∈Q).aa|a|a－a负数0namarsarbrnma1忆一忆知识要点a10a1图象性质1.定义域：2.值域：3.过点,即x=时,y=4.在R上是函数在R上是函数(,)(0,)(0,1)01增减3.指数函数y=ax(a0,且a≠1）的性质：yxoy=1(0,1)yx(0,1)y=1o当x0时,0y1.当x0时,0y1.当x0时,y1.当x0时,y1.要点梳理这个性质可概括成“底幂同，大于0，底幂异，小于0”．这个性质可用于研究由值域求自变量的范围．2.指数函数指数函数定义形如y＝ax(a0，且a≠1)的函数叫指数函数，定义域为_____.图象a10a1性质值域：_______________当x＝0时，_______当x0时，y1；当x0时，0y1当x0时，0y1；当x0时，y1在(－∞，＋∞)上是__________在(－∞，＋∞)上是________(0，＋∞)y＝1增函数减函数R考点突破考点1指数式的化简与求值在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，并尽可能地统一成分数指数幂形式，再利用幂的运算性质进行化简、求值、计算．例1化简：(1)(a85b－65)－12·5a4÷5b3；(2)a23·b－1－12·a－12·b136a·b5；(3)(279)0.5＋0.1－2＋(21027)－23－3π0＋3748.【思路分析】(1)因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂，先化为分数指数幂以便用法则运算；(2)、(3)题目中给出的是分数指数幂，先看其是否符合运算法则的条件，如符合用法则进行下去，如不符合应再创设条件去求．【领悟归纳】指数幂的化简与求值的常用方法(1)化负指数为正指数；(2)化根式为分数指数幂；(3)化小数为分数．根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．探究提高目录考点2.比较大小比较幂值大小的三种类型及处理方法课堂互动讲练【思路点拨】应先化为同底，然后根据指数函数的图象比较大小．2313213122135.1344.029.01....)(21,8,4yyyDyyyCyyyByyyAyyy则【解析】∵y1＝40.9＝21.8，y2＝80.44＝21.32，y3＝21.5,1.81.51.32.∴根据指数函数的性质可得，y1y3y2.故选D.【答案】D例2考点3指数函数的图象及应用画指数函数y＝ax的图象，应抓住三个关键点(1，a)、(0,1)、(－1，1a)，熟记指数函数y＝10x，y＝2x，y＝(110)x，y＝(12)x在同一坐标系中图象的相对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系、图象的变换．xoyxyaxybxycxydxoyxyaxybxycxydx=1xoyxyaxybxycxydxoyxyaxybxycxydx=1x=101badc已知函数y＝(13)|x＋1|.(1)作出函数的图象(简图)；(2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x取什么值时有最值，并求出最值．例3【思路分析】化简解析式→作出相应基本函数的图象→由变换得图象→利用图象得结果.【解】(1)法一：由函数解析式可得y＝(13)|x＋1|＝13x＋1x≥－1，3x＋1x－1.其图象由两部分组成：一部分是：y＝(13)x(x≥0)――――――――→向左平移1个单位y＝(13)x＋1(x≥－1)；另一部分是：y＝3x(x0)――――――――→向左平移1个单位y＝3x＋1(x－1)．如图所示．法二：①由y＝(13)|x|可知函数是偶函数，其图象关于y轴对称，故先作出y＝(13)x的图象保留x≥0的部分，当x0时，其图象是将y＝(13)x(x≥0)图象关于y轴对折，从而得出y＝(13)|x|的图象．②将y＝(13)|x|向左平移1个单位，即可得y＝(13)|x＋1|的图象，如图所示．(2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数．(3)由图象知当x＝－1时，有最大值1，无最小值．(1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．探究提高目录(2)对称变换,如图2所示.(1)平移变换(φ＞0),如图1所示.【拓展提升】1.指数函数y=ax(a0,a≠1)常见的两种图象变换目录2.两类常见的翻折变换(1)函数y=|f(x)|的图象可以将函数y=f(x)的图象的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留y=f(x)的x轴上方部分即可得到.(2)函数y=f(|x|)的图象可以将函数y=f(x)的图象右侧部分沿y轴翻折到y轴左侧替代原y轴左侧部分并保留y=f(x)在y轴右侧部分即可得到.练习：k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？解函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．当k0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有惟一的交点，所以方程有一解；当0k1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解．设a0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．换元令t＝ax，利用二次函数和指数函数的单调性来研究函数的单调性，构建方程获解．解令t＝ax(a0且a≠1)，则原函数化为y＝(t＋1)2－2(t0)．①当0a1时，x∈[－1,1]，t＝ax∈a，1a，此时f(t)在a，1a上为增函数．考点4指数函数的性质及应用例4所以f(t)max＝f1a＝1a＋12－2＝14.所以1a＋12＝16，所以a＝－15或a＝13.又因为a0，所以a＝13.②当a1时，x∈[－1,1]，t＝ax∈1a，a，此时f(t)在1a，a上是增函数．所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(a＝－5舍去)．综上得a＝13或3.指数函数问题一般要与其它函数复合．本题可利用换元法将原函数化为一元二次函数．结合二次函数的单调性和指数函数的单调性判断出原函数的单调性，从而获解．由于指数函数的单调性取决于底数的大小，所以要注意对底数的分类讨论，避免漏解．探究提高考点5指数函数的综合应用指数函数y＝ax(a0，a≠1)是单调函数，复合函数y＝au(其中u是关于x的函数u(x))的单调性是由y＝au和u＝u(x)的单调性综合确定(遵循同增异减的规律)．利用指数函数的单调性，可以处理有关指数式的比较大小问题，以及某些最简指数方程(不等式)的求解．已知f(x)＝aa2－1(ax－a－x)(a0且a≠1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围．【思路分析】(1)首先看函数的定义域而后用奇偶性定义判断；(2)单调性利用复合函数单调性易于判断，还可用导数解决；(3)恒成立问题关键是探求f(x)的最小值．例5【解】(1)函数定义域为R，关于原点对称．又∵f(－x)＝aa2－1(a－x－ax)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)当a1时，a2－10，y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝ax－a－x为增函数，∴f(x)为增函数．当0a1时，a2－10，y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝ax－a－x为减函数，∴f(x)为增函数．故当a0，且a≠1时，f(x)在定义域R内单调递增．(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，∴在区间[－1,1]上为增函数．∴f(－1)≤f(x)≤f(1)．∴f(x)min＝f(－1)＝aa2－1(a－1－a)＝aa2－1×1－a2a＝－1.∴要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，则只需b≤f(x)min＝－1.故b的取值范围是(－∞，－1]．【思维总结】指数函数y＝ax的单调性取决于a与1的大小关系，且y＝ax与y＝a－x＝(1a)x单调性相反．巩固练习1.求函数的定义域、值域、单调区间。23231xxy解：定义域为R．令t＝x2－3x＋2＝t∈［+∞).∴值域为(0,］.t在(-∞,)上为增函数，在(+∞)上为减函数.∵y=()t在R上为减函数,根据复合函数的单调性知y=在(-∞,)上为增函数，在(+∞)上为减函数.231(x),241,443132x3x21()3323,23232目录【拓展提升】1.指数型复合函数的单调性的求解步骤(1)求定义域:依据题意明确研究范围.(2)拆分:把原函数拆分成几个基本函数.(3)定性质:分层逐一求单调性.(4)下结论:根据复合函数的单调性法则，即“同增异减”,得出原函数的单调性.考向瞭望把脉高考命题预测近两年高考对指数和指数函数的考题主要是以其性质及图象为依托，常与其他函数进行复合，试题以选择题，填空题为主，考查学生计算能力和数形结合能力，属低档题．题型有数值的计算、函数值的求法、数值的大小比较、简单指数不等式等．预测2014年的高考中,主要以指数函数的性质为主,利用性质比较大小和解不等式为重点,同时关注解答题与导数的融合．