2016届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一轮复习课件 第7章 不等式 第3讲基本不等式及其应用

基础诊断考点突破课堂总结最新考纲1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．第3讲基本不等式及其应用基础诊断考点突破课堂总结知识梳理1．基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．(3)其中_______称为正数a，b的算术平均数，_______称为正数a，b的几何平均数．a＝ba＋b2ab基础诊断考点突破课堂总结2．几个重要的不等式(1)重要不等式：a2＋b2≥_____(a，b∈R)．当且仅当a＝b时取等号．(2)ab≤a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(3)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(4)ba＋ab≥___(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．2ab2基础诊断考点突破课堂总结3．利用基本不等式求最值已知x＞0，y＞0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当________时，x＋y有最____值是_______(简记：积定和最小)．(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当_______时，xy有最____值是______(简记：和定积最大)．x＝y小2px＝y大s24基础诊断考点突破课堂总结诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)当a≥0，b≥0时，a＋b2≥ab.()(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是相同的．()(3)函数y＝x＋1x的最小值是2.()(4)x＞0且y＞0是xy＋yx≥2的充要条件．()√×××基础诊断考点突破课堂总结2．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2＞2abB．a＋b≥2abC.1a＋1b＞2abD．ba＋ab≥2解析∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误．对于B，C，当a＜0，b＜0时，明显错误．对于D，∵ab＞0，∴ba＋ab≥2ba·ab＝2.答案D基础诊断考点突破课堂总结3．(2015·郑州模拟)设a＞0，b＞0.若a＋b＝1，则1a＋1b的最小值是()A．2B．14C．4D．8解析由题意1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba×ab＝4，当且仅当ba＝ab，即a＝b＝12时，取等号，所以最小值为4.答案C基础诊断考点突破课堂总结4．(2014·上海卷)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________.解析∵x2＋2y2≥2x2·2y2＝22xy＝22，当且仅当x＝2y时取“＝”，∴x2＋2y2的最小值为22.答案22基础诊断考点突破课堂总结5．(人教A必修5P100A2改编)一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，则这个矩形的长为__________m，宽为__________m时菜园面积最大．解析设矩形的长为xm，宽为ym．则x＋2y＝30，所以S＝xy＝12x·(2y)≤12x＋2y22＝2252，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝152时取等号．答案15152基础诊断考点突破课堂总结考点一利用基本不等式证明简单不等式【例1】已知x＞0，y＞0，z＞0.求证：yx＋zxxy＋zyxz＋yz≥8.证明∵x＞0，y＞0，z＞0，∴yx＋zx≥2yzx＞0，xy＋zy≥2xzy＞0，xz＋yz≥2xyz＞0，∴yx＋zxxy＋zyxz＋yz≥8yz·xz·xyxyz＝8，当且仅当x＝y＝z时等号成立．基础诊断考点突破课堂总结规律方法利用基本不等式证明新的不等式的基本思路是：利用基本不等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩小，在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性.基础诊断考点突破课堂总结【训练1】已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：1a＋1b＋1c≥9.证明∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，∴1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ca＋ab＋cb＋ac＋bc＝3＋ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝13时，取等号．基础诊断考点突破课堂总结考点二利用基本不等式求最值【例2】解下列问题：(1)已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，求ab的最大值；(2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值；(3)已知x＜54，求f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值；(4)已知函数f(x)＝4x＋ax(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，求a的值．基础诊断考点突破课堂总结深度思考解决与基本不等式有关的最值问题，你学会“配凑”了吗？(利用基本不等式求解最值问题，要根据代数式或函数解析式的特征灵活变形，凑积或和为常数的形式；条件最值问题要注意常数的代换，凑成基本不等式的形式求解最值)解(1)法一∵a＞0，b＞0,4a＋b＝1，∴1＝4a＋b≥24ab＝4ab，当且仅当4a＝b＝12，即a＝18，b＝12时，等号成立．∴ab≤14，∴ab≤116.所以ab的最大值为116.基础诊断考点突破课堂总结法二∵a＞0，b＞0,4a＋b＝1，∴ab＝14·4a·b≤144a＋b22＝116，当且仅当4a＝b＝12，即a＝18，b＝12时，等号成立．所以ab的最大值为116.(2)由x＋3y＝5xy，得3x＋1y＝5(x＞0，y＞0)，则3x＋4y＝15(3x＋4y)3x＋1y基础诊断考点突破课堂总结＝1513＋12yx＋3xy≥1513＋212yx·3xy＝15(13＋12)＝5，当且仅当12yx＝3xy，即x＝2y时，等号成立，此时由x＝2y，x＋3y＝5xy，解得x＝1，y＝12.基础诊断考点突破课堂总结(3)因为x＜54，所以5－4x＞0，则f(x)＝4x－2＋14x－5＝－(5－4x＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为1.(4)∵f(x)＝4x＋ax≥24x·ax＝4a，当且仅当4x＝ax，即4x2＝a时f(x)取得最小值．又∵x＝3，∴a＝4×32＝36.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等．基础诊断考点突破课堂总结【训练2】(1)设0＜x＜52，则函数y＝4x(5－2x)的最大值为__________.(2)设x＞－1，则函数y＝x＋5x＋2x＋1的最小值为________.(3)(2014·闽南四校联考)设a＞0，若关于x的不等式x＋ax≥4在x∈(0，＋∞)上恒成立，则a的最小值为()A．4B．2C．16D．1基础诊断考点突破课堂总结解析(1)因为0＜x＜52，所以5－2x＞0，所以y＝4x(5－2x)＝2×2x(5－2x)≤22x＋5－2x22＝252，当且仅当2x＝5－2x，即x＝54时等号成立，故函数y＝4x(5－2x)的最大值为252.基础诊断考点突破课堂总结(2)因为x＞－1，所以x＋1＞0，所以y＝x＋5x＋2x＋1＝x2＋7x＋10x＋1＝x＋12＋5x＋1＋4x＋1＝x＋1＋4x＋1＋5≥2x＋1×4x＋1＋5＝9，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时等号成立，故函数y＝x＋5x＋2x＋1的最小值为9.基础诊断考点突破课堂总结(3)因为x＞0，a＞0，所以x＋ax≥2a，要使x＋ax≥4在x∈(0，＋∞)上恒成立，则需2a≥4，所以a≥4，从而a的最小值为4，故选A.答案(1)252(2)9(3)A基础诊断考点突破课堂总结考点三基本不等式的实际应用【例3】(2014·银川模拟)运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油2＋x2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．基础诊断考点突破课堂总结解(1)设所用时间为t＝130x(h)，y＝130x×2×2＋x2360＋14×130x，x∈[50,100]．所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝130×18x＋2×130360x，x∈[50,100]．(或y＝2340x＋1318x，x∈[50,100])．基础诊断考点突破课堂总结(2)y＝130×18x＋2×130360x≥2610，当且仅当130×18x＝2×130360x，即x＝1810时，等号成立．故当x＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元.基础诊断考点突破课堂总结规律方法有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．基础诊断考点突破课堂总结【训练3】(2014·福建卷)要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是()A．80元B．120元C．160元D．240元解析设底面矩形的长和宽分别为am，bm，则ab＝4(m2)．容器的总造价为20ab＋2(a＋b)×10＝80＋20(a＋b)≥80＋40ab＝160(元)(当且仅当a＝b时等号成立)．故选C.答案C基础诊断考点突破课堂总结[思想方法]1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．基础诊断考点突破课堂总结2．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤a＋b22≤a2＋b22，ab≤a＋b2≤a2＋b22(a＞0，b＞0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件．基础诊断考点突破课堂总结[易错防范]1．注意基本不等式成立的条件是a＞0，b＞0，若a＜0，b＜0，应先转化为－a＞0，－b＞0，再运用基本不等式求解．2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．3．有些题目要多次运用基本不等式才能求出最后结果，针对这种情况，连续使用此定理要切记等号成立的条件要一致.