概率高中数学专题复习资料

1高三数学专题复习专题25：概率【复习要点】本章内容分为概率初步和随机变量两部分.第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验.第二部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差.涉及的思维方法：观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化.主要思维形式有：逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维.【例题】【例1】已知甲、乙两名篮球运动员投篮命中率分别为0.7和0.8．（1）如果每人各投篮一次，求甲、乙两人中至少一人进球的概率；（2）如果两人比赛，各投篮2次，求甲战胜乙的概率．解：设甲、乙两名篮球运动员投篮进球分别记为事件BA、，则BA、为独立事件．（1）94.0)8.01)(7.01(1)()(1)(1)(BPAPBAPBAP或94.08.07.08.07.0)()()()(ABPBPAPBAP（2）甲战胜乙有1比0、2比0、2比1三种情形，1932.02.08.07.02.07.02.03.07.012222212CCP．【例2】排球比赛的规则是5局3胜制，A、B两队每局比赛获胜的概率都相等且分别为23和13.（1）前2局中B队以2:0领先，求最后A、B队各自获胜的概率；（2）B队以3:2获胜的概率．解：（1）设最后A获胜的概率为1,P设最后B获胜的概率为2.P331328();327PC2211212211919.(1)3333332727PPP或（2）设B队以3:2获胜的概率为3.P3P2324128()()3381C．【例3】如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2，当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90，分别求系统N1，N2正常工作的概率P1、P2.2解：记元件A、B、C正常工作的事件分别为A、B、C，由已知条件P(A)=0.80,P(B)=0.90,P(C)=0.90.(1)因为事件A、B、C是相互独立的，所以，系统N1正常工作的概率P1=P(A·B·C)=P(A)P(B)P(C)=0.648,故系统N1正常工作的概率为0.648(2)系统N2正常工作的概率P2=P(A)·［1－P(CB)］=P(A)·［1－P(B)P(C)］=0.80×［1－(1－0.90)(1－0.90)］=0.792故系统N2正常工作的概率为0.792【例4】有A、B两个箱子，A箱中有6张相同的卡片，其中一张写有0，两张写有1，三张写有2；B箱中有7张相同的卡片，其中四张写有0，一张写有1，两张写有2，现从A箱中任取1张，从B箱中任取2张，共3张卡片。求：（1）3张卡片都写有0的概率；（2）3张卡片中数字之积为0的概率。解：（1）211612724CC（2）4237656127242713142727CCCCCCC【例5】袋里装有35个球，每个球上都标有从1到35的一个号码，设号码n的球重15532nn（克）．这些球以等可能性（不受重量的影响）从袋里取出．（1）如果任意取出一球，试求其重量大于号码数的概率；（2）如果同时任意取出二球，试求它们重量相同的概率．解：（1）由不等式nnn15532得n＞15，n＜3，由题意知n＝1，2，或n＝16，17，…，35．于是所求概率为3522（2）设第n号与第m号的两个球的重量相等，其中n＜m，则有1553155322mmnn，所以0)(15)(22mnmn，3因为n≠m，所以n＋m＝15，（n，m）＝（1，14），（2，13），…（7，8），但从35个球中任取两个的方法数为595213435C235，故所求概率为8515957【例6】已知：有6个房间安排4个旅游者住，每人可以进住任一房间，且进住房间是等可能的，试求下列各事件的概率：（Ⅰ）事件A：指定的4个房间各有1人；（Ⅱ）事件B：恰有4个房间各有1人；（Ⅲ）事件C：指定的某个房间有2人。解：由于每人可进住任1房间，进住哪间房是等可能的，每人都有6种等可能的方法，根据乘法原理，4人进住6个房间共有64种方法（1）指定的4个房间各有1人，有44A种方法，5416)(444AAP（2）从6间中选出4间有46C种方法，4个人每人去1间有44A种方法，18566)(44644444AACBP（3）从4人中选2个人去指定的某个房间，共有24C种选法，余下2人每人都可去5个房间中的任1间,因而有52种种方法。2162565)(4224CCP【例7】一个电路中有三个电子元件，它们接通的概率都是m（0＜m＜1)如图，有如下三种联接方法：①②③（1）分别求出这三种电路各自接通的概率；（2）试分析这三种电路哪种性能最优，并证明你的结论.解：（1）三种电路各自接通分别记为事件A1、A2、A3，则P（A1）=m3P（A2）=1－（1－m）3=3m－3m2+m3P（A3）=2（1－m）m2+m3=2m2－m3（2）P（A2）－P（A1）=3m－3m2=3m（1－m）∵0＜m＜1∴P（A2）＞P（A1）P（A2）－P（A3）=2m3－5m2+3m=m（2m－3）（m－1）＞0∴P（A2）＞P（A3）4三个电子元件并联接通的概率最大，故性能最优【例8】某厂生产的A产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂．质检办法规定：从每盒10件A产品中任抽4件进行检验，若次品数不超过1件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格．已知某盒A产品中有2件次品．（1）求该盒产品被检验合格的概率；（2）若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率．解：(1)从该盒10件产品中任抽4件，有等可能的结果数为410C种，＇其中次品数不超过1件有431882CCC种，被检验认为是合格的概率为431882410CCCC1315．(2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，因两次检验得出该盒产品合格的概率均为1315，故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为121313C(1)151552225．答：该盒产品被检验认为是合格的概率为1315；两次检验得出的结果不一致的概率为52225．【例9】某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班.若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图.（例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为101，路段CD发生堵车事件的概率为).151（1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；（2）若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量，求的数学期望.E解：（1）记路段MN发生堵车事件为MN.因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1为5)()()(1)(1DBPCDPACPDBCDACP=1－[1－P（AC）][1－P（CD）][1－P（DB）]=1－103651514109；同理：路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P2为1－P（)103(800239)小于FBCFAC路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P3为1－P（)103(30091)小于FBEFAE显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小.只可能在以上三条路线中选择.因此选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小.（2）路线A→C→F→B中遇到堵车次数可取值为0，1，2，3..24006371212017109121120310912112017101)()()()1ξ(,800561)()0ξ(FBCFACPFBCFACPFBCFACPPFBCFACPP.312400332400772240063718005610ξ01,24003121203101)()3ξ(,24007712120310912120171011211203101)()()()2ξ(EFBCFACPPFBCFACPFBCFACPFBCFACPP答：路线A→C→F→B中遇到堵车次数的数学期望为.31【例10】某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数ζ是一个随机变量，它的分布列如下：ζ123……12P121121121……121设每售出一台电冰箱，电器商获利300元，如销售不出而囤积于仓库，则每台每月需花保养费用100元，问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大？解：设x为月初电器商购进的冰箱台数，只须考虑1≤x≤12的情况，设电器商每月的收益为y元，则y是随机变量ζ的函数且y=xxxxx),(100300,300,电器商平均每月获益的平均数，即数学期望为：Ey=300x(Px+Px+1+…+P12)+［300－100(x－1)］P1+［2×300－100(x－2)］P2+…+［300(x－1)－100］Px－1=300x(12－x+1)121+121［300×2)1(1002)1(xxxx］6=325(－2x2+38x)由于x∈N,故可求出当x=9或x=10时，也即电器商月初购进9台或10台电冰箱时，收益最大.【例11】袋中装有3个白球和4个黑球，现从袋中任取3个球，设ξ为所取出的3个球中白球的个数．（I）求ξ的概率分布；（II）求Eξ．解：（I）ξ的可能取值为0，1，2，3.∵P（ξ＝0）＝3437CC＝435；P（ξ＝1）＝123437CCC＝1835；P（ξ＝2）＝213437CCC＝1235；P（ξ＝3）＝303437CCC＝135.∴ξ的分布列为：ξ0123P43518351235135（II）Eξ＝0×435＋1×1835＋2×1235＋3×135＝97.【例12】甲，乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员射击的环数稳定在7，8，9，10环。他们的这次成绩画成频率直方分布图如下：击中频率击中频率78910击中环数78910击中环数甲乙（1）根据这次比赛的成绩频率直方分布图推断乙击中8环的概率8乙P，以及求甲，乙同时击中9环以上（包括9环）的概率；0.30.20.150.350.27（2）根据这次比赛的成绩估计甲，乙谁的水平更高（即平均每次射击的环数谁大）.解（1）由图可知2.07乙P，2.09乙P，35.010乙P所以8乙P=1—0.2—0.2—0.35=0.25同理2.07甲P，15.08甲P，3.09甲P所以35.03.015.02.0110甲P因为65.035.03.09甲P55.035.02.09乙P所以甲，乙同时击中9环以上（包括9环）的概率P=9甲P9乙P=0.65×0.55=0.3575(2)因为甲E=7×0.2+8×0.15+9×0.3+10×0.35=8.8乙E=7×0.2+8×0.25+9×0.2+10×0.35=8.7甲E乙E所以估计甲的水平更高.【例13】有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频率数如下：［10，15］4［30，35)9［15，20)5［35，40)8［20，25)10［40，45)3［25，30)11(1)列出样本的频率分布表(含累积频率)；(2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图.解：(1)由所给数据，计算得如下频率分布表数据段［10,15)［15,20)［20,25)［25,30)［30,35)［35,40)［40,45)总计频数