z-CH9多阶段抽样-第3、4节-简

2019/8/21统计学专业必修课3学分1§9.3PU大小不等的2S抽样与群规模不等的CL对照着来理解本节的方法体系自加权样本的构造模式及估计方法(计算的重点)2019/8/21统计学专业必修课3学分2PU大小不等时解决问题的思路思路一：PU大小不等的问题可以转化为PU大小相等来讨论，比如分层，将大小近似的PU分到一层，则层内的2S抽样就可以按PU大小相等的方法来处理思路二：如果做不到上述转化，PU大小不等的处理就要复杂得多，复杂性体现在两个方面：抽样方法：PU的抽取是否考虑PU不等的因素估计方法：选择估计方法是否要考虑PU规模不等的因素2019/8/21统计学专业必修课3学分3§9.3方法体系类似于CL群规模不等的估计（一）对PU进行srs1、加权估计2、比率估计（二）对PU进行PPS抽样(WR)1、H-H估计2、构造自加权样本2019/8/21统计学专业必修课3学分4一、符号说明两个抽样比两个均值两个方差2019/8/21统计学专业必修课3学分5讨论的前提Aaf1ijY01MMAiiA个PUa个PUM1个BUM2个BUMa个BU……m1个BUm2个BUma个BU……每个PU相互独立地抽取相应的BU数iiiMmf2ijy01mmaii基本符号(Yij，i=1,2,…,A;j=1,2,…,Mi)(yij，i=1,2,…,a;j=1,2,…,mi)含义总体样本第i个PU的个体均值总的个体均值PU间方差第i个PU内BU间的方差AiMjijiYMY1101imjijiiymy11aimjijiymy1101iMjijiiYMY11AiiYYAS1221)(11aiiyyas1221)(11iMjiijiiYYMS1222)(11imjiijiiyyms1222)(11不需要再进一步综合2019/8/21统计学专业必修课3学分7二、均值估计量及其性质2019/8/21统计学专业必修课3学分8（一）对PU进行srs抽样方法的选择上没有考虑PU规模不等的因素估计方法的选择是否考虑PU规模不等的因素呢？2019/8/21统计学专业必修课3学分9讨论的前提A个PUsrsa个PUM1个BUM2个BUMa个BU……srsm1个BUm2个BUma个BU……每个PU相互独立地抽取相应的BU数Aaf1AiMmfiii,...,2,12ijY01MMAiiijy01mmaii2019/8/21统计学专业必修课3学分10等概抽样的加权估计量(P1989.28-9.31)适应性：一般用于Mi相差不大的情况是个无偏估计imjijiiymy11的平均值按个—样本中第—BUPUiiyaimjijiiAaiAiiiymMMaMyMay11111AMMA02019/8/21统计学专业必修课3学分11（二）对PU进行放回的不等概抽样抽样方法的选择上考虑了PU规模不等的因素选择与之配套的估计方法：H-H估计2019/8/21统计学专业必修课3学分121、抽选方法说明A个PUPPSa个PUM1个BUM2个BUMa个BU……m1个BUm2个BUma个BU……每个PU相互独立地抽取相应的BU数01MMMMZiAiiiiiiiMmf2PPS抽样结果有可能重复。如果某PU被重复抽到，比如被抽到2次，则分别独立的进行2次BU的抽取。对样本单元实施调查，相同的单元记录2次？2019/8/21统计学专业必修课3学分132、H-H估计量及其性质iiiyMYˆimjijiiymy11HHYˆaiiizYa1ˆ1由H-H估计量的性质可知，这是无偏估计量方差AiiiAiiiiHHZYVaYZYZaYV112)ˆ(1)(1)ˆ(aiHHiiHHYzYaaYv12)ˆˆ(111)ˆ(0ˆMYyaiiizYaM10ˆ1(P1999.36)(P2009.38)2019/8/21统计学专业必修课3学分14说明估计量方差的估计式仅与第一阶段有关，与第二阶段无关所以，一般对第二阶段抽样方法不做特别的规定2019/8/21统计学专业必修课3学分153、构造自加权估计量①理论上，要想构造自加权估计量，必须——将估计量形式表示成关于样本观测值之和的常数倍aimjijiyk11iiiyMYˆimjijiiymy11HHYˆaiiizYa1ˆ1aimjijiiiHHiymzMaY111ˆ0MMZiimmi令iiimaZMkf01iiiiamMmMMaMkf00012019/8/21统计学专业必修课3学分16关于f0含义的理解iiiiaZfMmf02相当于总体中任一BU被抽中的概率如果f0事先确定，则iiimaZMkf01iiiMmaZf02019/8/21统计学专业必修课3学分17②总结：实践中自加权样本的构造模式在2S中，自加权样本按如下模式构造：第一阶段对PU实施与规模成比例的PPS抽样第二阶段对BU按srs抽取，且mi=m这时，总值的估计量及方差的估计为：aiiPPSyyaaMYv1220)()1()ˆ(aimjijHHyamMyMY1100ˆ2019/8/21统计学专业必修课3学分18补例某小区拥有10座高层建筑，每座高层建筑拥有的楼层数如下表：用二阶抽样方法抽出10个楼层进行调查，第一阶抽样为放回的、按与每座建筑拥有的楼层数成比例的PPS抽样抽取5座建筑，第二阶按srs对每座建筑抽取2个楼层。对10个楼层居民人数的调查结果如下表。估计小区的总居民数，并给出估计的精度。高层建筑ABCDEFGHIJ合计楼层12121615101610181620145一阶样本序号12345合计居民数18,1215,1819,1316,1016,11148yi1516.5161313.514.8y2019/8/21统计学专业必修课3学分19解答2S自加权样本的模式构造：第一阶段对PU实施与规模成比例的PPS抽样第二阶段对BU按srs抽取，且mi=m本例的做法：用2S方法抽出10个楼层进行调查，第一阶抽样为放回的、按与每座建筑拥有的楼层数成比例的PPS抽样抽取5座建筑，第二阶按srs对每座建筑抽取2个楼层这时，总值的估计量及方差的估计为：aiiyyaaMYv1220)()1()ˆ(aimjijyamMyMY1100ˆ2019/8/21统计学专业必修课3学分20解答自加权的构造模式a=5，m=2，M0=1452146ˆ10110aiiaimjijyaMyamMY8.141452146ˆ0MYy625.9776)()1()ˆ(1220aiiyyaaMYv%9214688.9896.1ˆ)ˆ(YYstr2019/8/21统计学专业必修课3学分21补充习题某公司欲了解职工上班交通所需时间，该公司共有5个部门，根据每个部门的人数采用PPS抽样抽出2个部门，并在2个部门中采用srs分别抽出5名职工，调查的结果如下：试估计该公司职工上班交通平均所需时间，并给出估计的标准差。部门i职工人数Mi时间yij（分钟）12040，10，20，30，4023560，30，20，60，30§9.3结束2019/8/21统计学专业必修课3学分22§9.4其他问题一、3S抽样二、2S总样本量及最优样本量的配置2019/8/21统计学专业必修课3学分23一、3S及MS抽样2019/8/21统计学专业必修课3学分24（一）各阶单元大小相等的MS（以3S为例）1、含义总体包含A个PU，每个PU含M个二级单元，每个二级单元含G个BU分别srs抽取a个PU、m个二级单元、g个BUAaPUsrsMm二阶单元srsGgBUsrs2019/8/21统计学专业必修课3学分252、估计量及其性质(P1949.46-9.48)实践中，对于更高阶的情况，估计量的方差一般只需计算到第二或第三阶就可以了aimjguijuyamgy1111是无偏估计233222211111)(SamgfSamfSafyV233212221211)1()1(1)(samgfffsamffsafyv这是误差的主要组成部分amg一定时，提高a而减少m、g会有效提高估计的精度方差的无偏估计2019/8/21统计学专业必修课3学分26（二）各阶单元大小不等的MS(不要求)以总值Y的估计为例来说明通常有两种方法1、各阶抽样采用PPS抽样2、构造自加权样本重点掌握：样本为自加权的条件2019/8/21统计学专业必修课3学分27构造自加权样本（样本为自加权的条件）2019/8/21统计学专业必修课3学分28①抽样方法前两个阶段PPS抽样，最后一个阶段srs从第二阶开始，每一阶各下级样本单元数都相等则，样本是自加权的AaPUPPSMim二级单元PPSGijgBUsrs2019/8/21统计学专业必修课3学分29②估计量与方差估计yMyamgMYaimjguiju01110ˆaiiyyaaMYv1220)()1()ˆ(mjguijuiymgy1112019/8/21统计学专业必修课3学分303阶以上的MS自加权样本的构造类似地，对于更高阶的情况，除了最后一阶采用srs(wor或wr都行)，前几阶均采用PPS抽样；并且，从第二阶开始，每一阶的样本量都相同，则样本是自加权的自加权样本的好处估计量的形式及方差的估计都非常简单抽样估计效果一般也不错2019/8/21统计学专业必修课3学分31二、2S总样本量及最优样本量的配置讨论的前提：PU大小相等的2S背景说明每个PU均包含M个BU两个阶段均采用srsA→a，M→m各PU相互独立地抽取BU2019/8/21统计学专业必修课3学分32（一）(am)的确定两种思路：1、费用2、n2S=nsrs×DeffDeff的确定是关键实践中，一般，MS的Deff在1.3~3之间2019/8/21统计学专业必修课3学分33（二）最优样本量的配置前提：1、PU大小相等2、(am)一定的前提下，合理分配a和m的大小相当于确定最优抽样比f1=a/A、f2=m/M2019/8/21统计学专业必修课3学分341、基本思想①怎样算是最优配置最优设计、最优分配C一定的前提下，使估计精度最高在一定精度的要求下，使C最省2S费用函数形式：C=c0+c1a+c2am②实践中的基本原则2019/8/21统计学专业必修课3学分35②实践中的基本原则a尽量大一些，m尽量小一些两个阶段方差的大小如果：PU间的方差S12大，PU内BU间的方差S22小——则，a大一点，m小一点如果：S12小，S22大——则，a小一点，m大一点两个阶段单位调查费用如果：PU的单位调查费用c1大，BU的单位调查费用c2小——则，a小一点，m大一点如果：c1小，c2大——则a多一点，m小一点22221111)(SamfSafyV2019/8/21统计学专业必修课3学分362、求a、m的最优分配法(P2029.56)结论：212ccSSmuoptMSSSu22212其中：将mopt代入V公式，可求得V给定的情况下，使C→min的aopt(9.58)将mopt代入C公式，可求得C限定的情况下，使V→min的aopt(9.57)问题：如何确定aopt？2019/8/21统计学专业必修课3学分37来历有两种方法可以确定以上m的最优分配公式①拉格朗日乘子法②柯西——施瓦兹不等式基本思想：——借助方差函数和费用函数构造损失函数，求使得损失函数达极小值的m2019/8/21统计学专业必修课3学分38构造损失函数利用方差函数和费用函数构造损失函数2S的方差函数为