信号与系统第五章(陈后金)2

信号与系统SignalsandSystems普通高等教育“十一五”国家级规划教材《信号与系统》陈后金，胡健，薛健高等教育出版社，2007年系统的频域分析连续时间LTI系统的频域分析离散时间LTI系统的频域分析信号的幅度调制与解调连续时间LTI系统的频域分析连续时间LTI系统的频率响应连续非周期信号通过系统响应的频域分析连续周期信号通过系统响应的频域分析无失真传输系统理想模拟滤波器五、理想模拟滤波器|HLP(j)|cc|HHP(j)|cc|HBP(j)|1212|HBS(j)|1212滤波器是指能使信号的一部分频率通过，而使另一部分频率通过很少的系统。理想低通理想高通理想带通理想带阻五、理想模拟滤波器dcdj2ccje)(||0||e)j(tωtpH|H(j)|1cc0j()0ccctdctd截止角频率幅度响应|H(j)|在通带0~c恒为1，在通带之外为0。相位响应j()在通带内与成线性关系1.理想低通滤波器的频率响应五、理想模拟滤波器2.理想低通滤波器的冲激响应tHthωtde)j(π21)(jtωtωtdeeπ21jjdcc)]([Saπ)(dccttth)(thtdtπcKcdπtcdπt五、理想模拟滤波器2.理想低通滤波器的冲激响应分析：1)h(t)的波形是一个抽样函数，不同于输入信号d(t)的波形，有失真。原因：理想低通滤波器是一个带限系统，而冲激信号d(t)的频带宽度为无穷大。减小失真方法：增加理想低通截频c。h(t)的主瓣宽度为2p/c，c越小，失真越大。当c时，理想低通变为无失真传输系统，h(t)也变为冲激信号。五、理想模拟滤波器2.理想低通滤波器的冲激响应分析：2)h(t)主峰出现时刻t=td比输入信号d(t)作用时刻t=0延迟了一段时间td。td是理想低通滤波器相位响应的斜率。3)h(t)在t0的区间也存在输出，可见理想低通滤波器是一个非因果系统，因而它是一个物理不可实现的系统。五、理想模拟滤波器3.理想低通滤波器的阶跃响应ththtgd)()()()1(d)]([Saπdcctt)d(Saπ121)()(0dctttgg(t)ttdcdπtcdπt10.5五、理想模拟滤波器3.理想低通滤波器的阶跃响应分析：1)阶跃响应g(t)比输入阶跃信号u(t)延迟td。td是理想低通滤波器相位响应的斜率。2)阶跃响应的建立需要一段时间。阶跃响应从最小值上升到最大值所需时间称为阶跃响应的上升时间tr。tr=2p/c，即上升时间tr与理想低通截频c成反比。c越大，上升时间就越短，当c时，tr0。五、理想模拟滤波器3.理想低通滤波器的阶跃响应分析：3)存在Gibbs现象即在间断点的前后出现了振荡，其振荡的最大峰值约为阶跃突变值的9%左右，且不随滤波器带宽的增加而减小。结论1.输出响应的延迟时间取决于理想低通滤波器的相位响应的斜率。2.输入信号在通过理想低通滤波器后，输出响应在输入信号不连续点处产生逐渐上升或下降的波形，上升或下降的时间与理想低通滤波器的通频带宽度成反比。3.理想低通滤波器的通带宽度与输入信号的带宽不相匹配时，输出就会失真。系统的通带宽度越大于信号的带宽，则失真越小，反之，则失真越大。例2求带通信号x(t)=Sa(t)cos2t，t，通过线性相位理想低通滤波器的响应。dcj2)()j(tepH解：因为)(π)(Sa2ptF利用Fourier变换的频移特性，可得)]2()2([2π)j(22ppXX(j)p/21331|H(j)|cc)]2()2([2πe)()j()j()j(22j2dcpppXHYt例2求带通信号x(t)=Sa(t)cos2t，t，通过线性相位理想低通滤波器的响应。解：X(j)p/21331|H(j)|cc)]2()2([2πe)()j()j()j(22j2dcpppXHYt)]2()2([2πe)j(22jdppYty(t)=x(ttd)=Sa(ttd)cos[2(ttd)]，t2)当c1时，输入信号的所有频率分量都不能通过系统，即0)j(Yy(t)=0，t1)当c3时，输入信号的所有频率分量都能通过系统，即dcj2e)()j(tpH例2求带通信号x(t)=Sa(t)cos2t，t，通过线性相位理想低通滤波器的响应。解：3)当1c3时，dccjc1c1e)]21()21([2π)j(tppY由抽样信号频谱及Fourier变换的时域和频域位移特性可得)(21cos)(21Sa21)(dcdcctttttydcj2e)()j(tpH)]2()2([2πe)()j()j()j(22j2dcpppXHYtccY(j)只有c范围内的频率分量能通过系统，故X(j)p/21331|H(j)|cc离散时间LTI系统的频域分析离散时间LTI系统的频率响应离散非周期序列通过系统响应的频域分析离散周期序列通过系统响应的频域分析线性相位的离散时间LTI系统理想数字滤波器一、离散LTI系统的频率响应离散系统的频率响应定义为nnnnmmmmaaabbbbXYHj)1(j1j1j)1(j1j10jjzsjeee1eee)e()e()e(][]1[]1[][11nkyankyakyakynn][]1[]1[][110mkxbmkxbkxbkxbmm若n阶离散LTI系统的差分方程为)e()e()e(jjzsjXYH则离散系统的频率响应可表示为可见系统的频率响应只与系统本身的特性有关一、离散LTI系统的频率响应幅度响应(magnituderesponse)相位响应(phaseresponse)jd)(d)(群延时(groupdelay)频率响应H(ej)与单位脉冲响应h[k]的关系]}[{DTFT]}[{DTFT]}[{DTFT)e()e()e(jjjkhkkhXYHΩΩzsΩdH(ej)一般可表示为幅度与相位的形式)(jjje|)e(|)e(jHH二、离散非周期序列通过系统响应的频域分析][e)(jnhnkn][e][jkhkyk][eejjnhnnk)e(ejjHkH(ej)ejkH(ej)ejkejk通过LTI系统的稳态响应二、离散非周期序列通过系统响应的频域分析d)ee(π21][jjππkXkxd}e{)e(π21]}[{][jjππzskTXkxTkyde)e()e(π21jjjππkHXH(ej)X(ej)H(ej)X(ej)非周期x[k]通过LTI系统的响应三、离散周期序列通过系统响应的频域分析正弦序列通过LTI系统的响应]ee[5.0)cos()(j)(jkkk]e)e(e)e([5.0][)(jj)(jjkkHHky余弦序列])(cos[)e(][jjkHky当h[k]为实序列时)e()e(jjHH因此有}e)e(Re{][)j(jkHky三、离散周期序列通过系统响应的频域分析正弦序列通过LTI系统的响应]ee[j5.0)sin()(j)(jkkk]e)e(e)e([j5.0][)(jj)(jjkkHHky信号的延迟为j)()(p正弦序列])(sin[)e(][jjkHky当h[k]为实序列时三、离散周期序列通过系统响应的频域分析周期序列通过LTI系统的响应mkNNmmXNkxp2j10e][~1][~}e{][~1]}[~{][~2j10mkNNmTmXNkxTkypmkNmNNmHmXNpp2j2j10e)e(][~1由于存在)e(eeπ2jπ2j系统LTIπ2jmNkmNkmNH所以有例：已知一离散LTI系统的h[k]=(0.5)ku[k]，输入x[k]=cos(0.5pk)，(∞k∞)，求系统的稳态响应。jje5.011]}[{DTFT)e(khHj5.011)e(π5.0jH4636.0je8944.0)]π5.0(π5.0cos[)e(][π5.0jjkHky)4636.0π5.0cos(8944.0k解：四、线性相位的离散时间LTI系统线性相位系统：j()k0线性相位系统的群延迟：，通过线性相位系统的响应为()=k0)(jjje)e()e(jHHde)e(π21][jjππkXkxde)e()e(π21][jjππjkHXkyde|)e(|)e(π21)(jjππj0kkHX信号通过线性相位的LTI系统时，只有幅度发生改变，而相位没有失真。四、线性相位的离散时间LTI系统线性相位系统：j()k0线性相位系统的群延迟：kNmmmXNkxj10e][~1][~，通过线性相位系统的响应为)(jj100e)e(][~1][~kkNmmmHmXNky()=k0)(jjje)e()e(jHH信号通过线性相位的LTI系统时，只有幅度发生改变，而相位没有失真。五、理想数字滤波)e(jLPHcc1pp)e(jHPHcc1pp)e(jBPH11212pp)e(jBSH11212pp(a)理想低通(b)理想高通(c)理想带通(d)理想带阻例：确定理想低通滤波器的单位脉冲响应hLP[k]。解：de)e(π21][jjLPππLPkHkhdeπ21jcckkkkkjejeπ21ccjj)(Saπcck-100-50050100-0.1-0.0500.050.10.150.20.25理想的数字滤波器都是非因果离散系统例已知一LTI系统的H(ej)为其它02316π2e)e(3jjH][~][~16kkxd输入为,求系统的输出。15016π2j16e161][~lklkd}e)e(e)e()e({161][1516π2j1516π2j16π2j16π2j0jkkHHHky}e)e(e)e()e({16116π2j16π2j162j16π2j0jkkHHHp)]}3(8πcos[21{161k解：