第十九章北航-材料力学-全部课件-习题答案

1第19章考虑材料塑性的强度计算19-2图示两端固定杆AB，截面C承受轴向载荷F作用。已知AC与CB段的横截面面积分别为A1=200mm2，A2=150mm2，屈服应力s=300MPa。试确定极限载荷Fu。题19-2图解：此为一度静不定杆，只有当截面C两边的杆段均屈服时才会变成塑性机构。这两段杆的屈服内力依次为kN45kN60s2N2ss1N1sσAFσAF当两段杆的内力均达到屈服内力时，截面C有向左移动的趋势，故N1sF为压，N2sF为拉，由轴向平衡条件可得该杆的极限载荷为kN105N2sN1suFFF19-4图示桁架，由三根钢杆所组成，在节点C承受载荷F作用。已知三杆的横截面面积均为A=150mm2，屈服应力s=360MPa。试求极限载荷Fu。题19-4图解：此为一度静不定桁架结构。不难判断，当载荷F增加时，杆2首先到达屈服。又由于结构及载荷对称，其后的杆1与杆3必然是同时屈服，故该结构只有当三根杆都屈服时才会变成极限状态。各杆的屈服内力为kN54sN3sN2sN1sAσFFF进而由节点C的平衡方程0yF可得极限载荷为2kN4.13045)cos(N3sN1sN2suFFFF19-5题19-4所述桁架，设杆长l1=l3=22l=1m，材料的弹性模量E=210GPa，试绘制节点C的铅垂位移f与载荷F间的关系曲线。解：1.求各杆的轴力解静不定，求得45cos2145cos2145cos3N232N3N1FFFFF比较可知，N1N2FF，杆2将首先屈服。2．杆2屈服时节点C的铅垂位移杆2中的应力到达sσ时，有)mm(212.1m10212.110210)m21()10360(ΔkN292kN54)221()45cos21(3962s2N2s2SN2s3SElσEAlFlf.FF3．结构达到极限状态时节点C的铅垂位移载荷若继续增大，会使杆1和3也屈服，即整个结构达到极限状态。此时节点C的铅垂位移为)(mm424.2m10424.210210)m1()10360(2)(2Δ23961s1uElσlf4．绘制f与F的关系曲线根据以上计算结果及上题所得的uF值，可画出f与F的关系曲线，如图19-5所示。图19-519-8图示两端固定的圆截面轴，承受扭力矩M作用。已知轴径d=40mm，剪切屈服应力为s=100MPa，试求M的极限值Mu。3题19-8图解：此为一度静不定问题。当扭力矩M两边的轴段均到达屈服时，该轴达到极限状态。两段轴的极限扭矩均为mN1676mN10100120.040π12π63s3pτdT不难判断，左、右两边的pT均与极限扭力矩uM反向，故由平衡方程0xM得mkN35.3mN1035.323puTM19-9梁截面如图所示，弯矩M作用在铅垂对称面内。已知屈服应力为s，试求M的极限值Mp。题19-9图(a)解：达极限状态时，圆截面的水平对称轴z仍为中性轴。由于半圆的形心坐标为π32dyC故极限弯矩为6)π32)(8π(2)(3s2s21spdσddσSSσM(b)解：先确定中性轴位置设中性轴为水平轴线z，如图19-9(b)所示，有bhbh::11(a)hbbh412111(b)由式(a)与(b)可得bbhh212111，4图19-9(b)极限弯矩为)(21spSSσM（c）其中，2111211221111)258(241)(32))((21)(21242)31)(21(bhhhhhbbhhbSbhhbhS(e)(d)将式(d)与(e)代入式(c)，得2s22sp622])258(241242[bhσbhbhσM19-10一矩形截面梁，宽为b，高为h，横截面上的弯矩为M，且MsMMp。已知拉、压屈服应力均为s，试求梁的曲率半径。解：该梁横截面上正应力分布情况如图19-10所示。图19-10由弯矩M的构成关系可知，34)4(322]21)2()2([2)32(2)(2ss2s2s2s2ssssssybσhbσyhbσybσyhbyhσybyσMss＋由此得)4(32sssMhbσbσy依据关系式ρyε/，得5)4(3s2sssssbσMhσEσEyεyρ19-12图示两端固定梁，承受均布载荷q=50N/mm作用。已知许用应力[]=160MPa，梁的跨度l=4m，试根据许用载荷法选择一合适型号的工字钢。题19-12图解：1.确定极限状态此为三度静不定梁，但在小变形条件下，轴力很小，可以不计，故只存在两个多余未知反力，当该梁出现三个塑性铰时即处于极限状态。由于结构及载荷均对称，故极限状态只可能如图19-12所示。图19-122．确定极限弯矩与载荷的关系根据虚功原理，有04)(22)2(pθMulq其中，θlu2于是得162pqlM3．选择工字钢型号依据许用载荷法，应有WσfMql][][16p2由此得][162σfqlW对于工字形截面，可取16.1f，于是343623m1069.2m1016016.1164)1050(W6查附录F表4，№22a工字钢的WcWx343m1009.3m309能满足强度要求，故选择№22a工字钢。19-13图示梁，许用应力[]=160MPa，梁截面为№22a工字钢，a=1m，试分别按许用载荷法与许用应力法分析梁的承载能力并进行比较。题19-13图解：1.按许用载荷法求解此为一度静不定梁，可能的极限状态有两种，分别示如图19-13(a)和(b)。图19-13对于图(a)，根据虚功原理，有0)(pu1MaF由此得aMFpu1对于图(b)，根据虚功原理，有03-)()(2pu2u2MaFaF由此得aMFpu23比较可知，图(a)所示为该梁真实的极限状态，故取aMFpu依据许用载荷法，该梁的承载能力为kN4.57N1074.5N1101601009.316.1][][][464puaσfWaMF2．按许用应力法求解参看图19-13(c)，解静不定，得B处多余反力为FFy819由弯矩图可知，7FaMmax图19-13(c)依据许用应力法，应有][maxmaxσWFaWMσ由此得kN4.49N1094.4N1101601009.3][][464aσWF3．比较根据上述计算，16.1][][FFu用许用载荷法所得结果比用许用应力法所得结果大16％。19-14在图示梁上，作用一沿梁轴移动的载荷F。已知梁的极限弯矩为Mp，试求极限载荷Fu。题19-14图解：此为一度静不定梁，当出现两个塑性铰时，该梁即处于极限状态。由于弯矩的峰值将发生在左端截面和载荷F作用截面处，故可能的极限状态应如图19-14所示。图19-14根据虚功原理，有021ppMMFu(a)由几何关系可知，8ηl1（b）将式(b)代入式(a)，得02ppηlMMFu即p)12(MηlηFu(c)进而由0)(21)21(2dd22uηlηηF得0)(2)(22222ηlηηηl或02422llηη(d)求解方程(d)，得lη)22(舍去增根，取llη586.0)22((e)将式(e)代入式(c)，得极限载荷为lMMlllFppu83.5)586.01586.02(19-15图示刚架，承受载荷F作用。已知极限弯矩为Mp，试求F的极限值Fu。题19-15图(a)解：此为一度静不定刚架。其极限状态如图19-15(a)所示。9图19-15(a)依据虚功原理，有02)()(puMlF由此得lMFpu2(b)解：此为三度静不定刚架。其极限状态如图19-15(b)所示。图19-15(b)依据虚功原理，有04)()(puMlF由此得lMFpu419-16图示结构，由梁BC与杆CD组成，承受载荷F作用。梁用№32b工字钢制成，杆的横截面面积A=250mm2，梁与杆的屈服应力均为s=240MPa,a=8m，b=1m。试求极限载荷Fu。10题19-16图解：此为一度静不定结构。可能的极限状态有两种，如图19-16(a)和(b)所示。图19-16对于图(a)，依据虚功原理，有0)(2)()(ppu1baMMaF由此得kN253N1053.2)N102401072616.1)(1182())(12()12(566sp1ufWbaMbaF对于图(b)，依据虚功原理，有0)()(NSpu2baFMaF由此得)]()[()(sNSpu2baAfWaσabaFMFkN8.92N1028.9)]N18(10250)1072616.1[(81024046662uF比较以上二结果可知，图(b)所示为该结构真实的极限状态，其极限载荷为kN8.92uF