《微积分初步》应用题解题步骤

《微积分初步》应用题上镜率：2011年7月，2010年7月，2007年7月1、欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设长方体底边边长为x，高为h因为2108xh，所以有2108hx表面积222210843244yxxhxxxxx24322yxx令0y得6x（唯一驻点）由实际问题知，当底边长为6，高为210836时，用料最省。【分析，（1）其中2212243243243224322xxxxxxxx（2）243220yxx有24322xx两边同乘以2x得到32432x两边同除以2得到3343221662x所以解得6x（3）应用结论：实际问题中一定存在最值，唯一的驻点是极大（小）值点，也一定是最大（小）值点。（4）如果此题中的108换成其他数字如32，同理可做】上镜率：2011年1月，2009年1月2、欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设长方体底边边长为x，高为h因为232xh，所以有232hx表面积22223212844yxxhxxxxx21282yxx令0y得4x（唯一驻点）由实际问题知，当底边长为4，高为210826时，用料最省。上镜率：2011年1月，2008年7月3、用钢板焊接一个容积为4m3的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为x，则有高24hx表面积22164yxxhxx所以2162yxx令0y得2x（唯一驻点）有实际问题知，当底边长为2，高为1时表面积最小，费用最低此时最低费用为21040160y（元）。上镜率：2008年1月4、设矩形周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体，试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。解：设矩形一边为x，则另一边旋转轴为1202602xx圆柱体体积为2236060yxxxx所以21203yxx令0y得0x（舍），40x（唯一驻点）由实际问题知，当矩形一边为40，一边为20，且短边为旋转轴时圆柱体体积最大。上镜率：2007年1月5、欲用围墙围成面积为216立方米的一块矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？解：设土地一边为x，另一边为2216x，用料及长度为216432323yxxxx24323yx令0y得12x（舍），12x（唯一驻点）由实际问题知，当土地一边为12，另一边为18时，用料最省