73专插本高等数学例题和习题ch8多元函数微积分

第八章多元函数微积分193/22第八章多元函数微积分本章主要知识点一阶偏导数计算可微与全微分二阶偏导数二重积分—直角坐标系二重积分—极坐标系一、一阶偏导数计算多元函数一阶偏导数计算主要有下面问题：（1）显式函数一阶偏导。（2）复合函数一阶偏导。（3）隐函数一阶偏导数。1．显函数的一阶偏导数例8.1．2sin()xyuxe，求,uuxy。解：22sin2sin2cos()1cosxyxyxyuexyxyexyxyex23sin2cosxyuxexyy例8.2．yyzuxyzx，求,,uuuxyz。解：11110yyyyyuyxyzxzyxyzxx，zxzyzyxxyuyzylnln1，11lnln0yyzyyzzyxyyzyxyyzu，例8.3．22lnzxxy＋yx，求,uuxy。解：11222222111yyuxyxyxxxxyxyxy，222222221lnlnyyzyyxxxxyxxyxyxyxxy。第八章多元函数微积分194/222．复合函数的求偏导我们用具体的例子来说明复合函数的求偏导的解题步骤。例如xxyyxfusin,,，其中f为已知可微三元函数，求zuyuxu,,。第一步：变量zyx,,的关系网络图123xyxuyx其中1，2，3分别表示xxyyxsin,,第二步：寻找与x对应的路径，计算的过程可以总结为“路中用乘，路间用加”1231231coscosuffyfxffyfxx同理，寻找与y对应的路径，12121uffxffxy。例8.4．22sin(),xyufxye，求,uuxy。解：22212cos()xyufxyyfex22122cos()2xyufxyxyfey例8.5．2(,sin(23),)xyzufxzzyze求zuyuxu,,。解：123xzyufzxyz第八章多元函数微积分195/222213xyzufzfzyex2233cos(23)xyzufzyfxzey12322cos(23)(1)xyzufxzfzyfexyzz。3．隐函数一阶偏导由方程0),,(zyxF决定隐函数),(yxzz。求偏导公式为：xzFzxF，yzFzyF例8.6．),(yxzz由方程132222zyxezyx决定，求yzxz,。解：222231xyzFxyze2323232xyzxxyzzFzxexFez23232232xyzyxyzzFzyeyFez.例8.7．1)2sin(22zyzyxx，求yzxz,。解：22sin(2)1Fxxyyzz222sin(2)2cos(2)cos(2)2xzFzxyyzxxyyzxFxyxyyzz22(2)cos(2)cos(2)2yzFzxyzxyyzyFxyxyyzz。二、全微分),(yxfu，全微分dyyfdxxfdu),,(zyxfu，全微分dzzfdyyfdxxfdu第八章多元函数微积分196/22例8.8．tanxuxyy，求du。解：221tansectansecuxxxxyyxyxxyyyyy222222tansectansectansecuxxxxxxxxxxxyxxyxyyyyyyyyyy2(tansec)uuxxdudxdyyxdxxyyy22(tansec)xxxxdyyyy例8.9．yxxyuxyxy，求du。解:1ln(1ln)yxxuyxyyxxx1ln(1ln)yxyuxxxyyyy11(ln(1ln))(ln(1ln))yxxyxyduyxyyxxdxxxxyyydy例8.10．yxyxu2sin22，求)2,1(yxdu。解：yxxu2sin2yxyxu2cos222cos2,22,12,1yxyxyuxu2(2)dudxdy三、二阶偏导数例如),(yxfu，有四个偏导数222222,,,uuuuxxyyxy。分别定义为)(22xuxxu，)(2yuxyxu，)(2xuyxyu，)(22yuyyu第八章多元函数微积分197/22在连续条件下xyuyxu22。例8.11．已知23xyuxyyx求u的所有二阶偏导数．解：22132xxyuxyyxx2321yxuxyx522364xxyuxyyx232221132xyyxxuuxyx232yyxuy例8.12．)ln(22yxxu求yxu2。解：2222221)1(1yxyxxyxxxu233222222122()()uyyxyxyxy例8.13．已知),(yxzz由方程222zyeyxz决定，求yxz2。解：方程两边对x求偏导得：xzzxzyexz22即，xzzyexz)2(2（）zyexxzz22两边对y求偏导得：yzzyzyeeyzz22第八章多元函数微积分198/22zyeeyyzzz22（）两边对y求偏导得：yxzzyeyzyzyzyeezzz2)2()2(0zyeyzyeyzeyxzzzz2))(2(22zyezyeeyyezyeeyezzzzzzz2)22)(2(22232)2()2)(2()2)(2(zyeeyyezyeeyezzzzzz。例8.14．2(,sin,)yufxyxxe，其中f为已知三元函数，求2uxy。解：123cos2yufyfxfxex222111132123()cos()yyufyfxfxexfxfxexy[phone]()yyyxefxefxfxe。四、偏导数应用1.曲面的切平面及法线方程（1）(,)zfxy在0p的法向量0{,,1}|xypnff（2）曲面方程为F(x,y,z)=0，在0p的法向量0{,,}|xyzpnFFF2.多元函数极值求解流程：（1）驻点00(,)xy，0000(,)0,(,)0.xyfxyfxy（2）计算000000(,),(,),(,)xxxyyyAfxyBfxyCfxy；第八章多元函数微积分199/222,BAC则当0时，无极值；当0时，A0取极小，A0取极大。例8.15．求曲面3zezxy在点P(2,1,0)处的切平面和法线方程。解：令(,,)3zfxyzezxy，则,,1zxyzfyfxfeP点法向量(2,1,0){,,}|{1,2,0}xyznfff切平面为：(1)2(1)0xy法线方程为：11120xyz。例8.16．求函数22(,)(2)xfxyexyy的极值。解：由22222(2)0(22)0xxxfexyyexfeyy解得驻点1(,1)222224(21),2(22),2xxxxxxyyyfexyyfeyfe2220,0,2,40AeBCeBACe,点1(,1)2取极小值，min.2ef五、累次积分累次积分2211()()()(,)(,)bxbxaxaxdxfxydyfxydydx例8.17．计算xxxydydx210解：原式212012xxxydx12401()2xxxdx111124624例8.18．2010sinydxyydy第八章多元函数微积分200/22解：原式11200sinsinyydyyydyy111000coscoscosydyyyydy10cos1sinsin1cos1y。六、直角坐标下的二重积分X型区域)()(21),(),(xxbaDdyyxfdxdxdyyxfY型区域21()()(,)(,)dycyDfxydxdydyfxydx上述X型，Y型区域的定限方法非常重要，将直角坐标下二重积分转换为累次积分，更复杂的区域可以看成（拆分）为若干X型，Y型区域组合而成。例8.19．D由2,yxyx在第一象限所围的区域，计算()Dxydxdy解：210()()xDxxydxdydxxydy21201()2xxxyydx12234011()22xxxxdxaboO2yx1yxo1xy2xycdxy图示8.1图示8.22yxyxxyo图示8.31第八章多元函数微积分201/221234031()22xxxdx1112410320例8.20．D由曲线ln,2,,yxxxex轴所围的区域，计算Dydxdy解：ln20exDydxdydxydy2ln021|2exydx221ln2exdx2221ln|ln2eexxxdx2221ln2ln|12eeexxdx21ln22ln222eee21ln22ln222e例8.21．D由曲线yx在（1，1）点处切线，yx本身，x轴所围的区域，计算Dxydxdy解：12yx，(1,1)1|2ky切线方程：11(1)2yx即21xy21021yDyxydxdydyxydx2122101()|2yyyxdy15201[(21)]2yyydy15201[(441)]2yyyydy1532011141(44)(1)22632yyyydy0例8.22．D为从1(,1)2，1(1,)2连线PQ，正方形01x，01y去除右上角剩余部分，计12elnyxxyoxyo11yx图示8.4图示8.5第八章多元函数微积分202/22算()Dxydxdy。解：设正方形01x，01y为G，右上角部分1D，则1()()()DGDxydxdyxydxdyxydxdy1100()()Gxydxdydxxydy112100011()|()22xyydxxdx111221111322()()Dxxydxdydxxydy1121231122211313()|[()()]22222xxyydxxxxxdx122121319[(3)]2224xxxxxdx121215()28xxdx221121153()|62816xxx原式=31311616改变累次积分的积分顺序，是考查考生对二重积分定理是否掌握