第7章-3-描述函数法介绍

17.5非线性特性的描述函数法描述函数法是达尼尔（P.J.Daniel）于1940年首先提出的。描述函数法的基本思想非线性环节正弦输入信号一次谐波分量近似一定假设条件等效频率特性2谐波:频率等于基本频率的整倍数的正弦波分量称为谐波.谐波是相对基波而言的，一次谐波也就是基波，频率为基波频率的n倍的信号，就叫做n次谐波。基波：复合波的最低频率分量。在复杂的周期性振荡中,包含基波和谐波。和该振荡最长周期相等的正弦波分量称为基波。相应于这个周期的频率称为基本频率。谐波分析就是将非正弦信号分解为不同频率的正弦信号的和或差。最典型的谐波分析是傅立叶分析。3描述函数法也称为谐波线性化法，或称为谐波平衡法。这是一种工程近似方法。主要分析非线性系统极限环的稳定性，以及确定非线性闭环系统在正弦函数作用下的输出特性。应用描述函数法分析非线性系统时，系统的阶次不受限制。47.5.1描述函数的基本概念()NA()Gs-reyc()NA非线性环节，是几个物理部件的等效非线性。5用描述函数法研究如上图所示的系统，须有几个假设：系统只有一个非线性环节；假设非线性环节是时不变的(定常的)；非线性环节N对应正弦输入，只考虑其输出中的基波分量。非线性环节N后面的线性环节必须具有低通滤波特性；假设非线性特性关于原点对称（奇函数）。6一次谐波分量近似非线性环节()sinetAt()yt01()cossinnnnytYAntBnt01sinnnnYYnt1sinnnnYnt111()sinytYt7在一定的近似条件下，非线性元件的特性与通过频率特性描述的线性元件的特性相类似。非线性环节()sinetAt111()sinytYt输出基波分量复变函数11()jYNAeA称为描述函数。8描述函数与线性元件的频率特性不同，记为。一般是输入正弦振幅的函数，A()NA当非线性元件具有储能特性（即N的特性不是用代数方程，而是用微分方程描述）时，描述函数才是与的函数，A记为：。(,)NA9()NA()Gs-reyc()()cNAGjeerc消去得e()()1()()NAGcjArjNG10当外部输入为零，即时，0r()()10AGcjN考虑非平凡情形，即时0c()()10jNAG这是系统存在极限环的必要条件。上式也称为非线性系统的特征方程。117.5.2描述函数的计算给定非线性系统方块图如下：()NA()Gs-rexc非线性元件的正弦输入为()sinetAt12非正弦周期输出：01()cossinnnnxtAAntBnt01sinnnnAXnt其中：201()cosdnAxtntt2001()d2Axtt201()sindnBxtntt22nnnXABarctannnnAB13当非线性特性是奇函数时，图像关于原点中心对称，则有：00A输出基波分量为111()cossinxtAtBt11sinXt2101()cosdAxttt2101()sindBxttt22111XAB111arctanAB14非线性特性的描述函数为：1122arctan11()jABABNAeA当非线性输出为单值奇函数时，有：10A从而有：111arctanarctan00AB此时的描述函数为实函数，()NA说明与同相。1()xt()et157.5.3典型非线性环节的描述函数1饱和特性的描述函数txxeet000aabb11bb22A16输出的数学表达式为：()xtsin()sinkAtxtkabkAt11110ttt17饱和特性的描述函数为22()arcsin1kaaaNAAAAAa或写为：2()2arcsin1NAaaakAAA18aA()NAk101饱和特性197.6非线性系统的描述函数分析本节主要研究下列内容：非线性系统的稳定性，系统是否产生自持振荡；如何确定自持振荡的振幅和频率；系统的校正方法，以及消除自持振荡的方法。207.6.1非线性系统的稳定性分析()NA()Gs-rexc非线性系统产生自持振荡的必要条件为：1()()0NAGj或：1()()GAjN称为非线性特性的负倒描述函数21若正弦函数的振幅及角频率00sinAt0A0可使式1()()0NAGj成立，则正弦函数00sinAt是此特征方程的一个解，即系统存在一个振幅为、角频率为的等幅振荡，0A0或者说非线性系统的自持振荡。这相当于线性系统开环频率特性通过其()Gj稳定临界点的情形。(1,0)j22这样，在复平面的坐标便是非线性系统01()NA的临界稳定点。非线性系统的临界稳定点是随着输入信号的振幅的变化而变化的。A非线性系统负倒描述函数曲线是临界1()NA稳定点的轨迹。23在线性部分为稳定环节的前提下，给出Nyquist图中的非线性系统稳定性判据：（1）如果线性部分频率特性由向()Gj0变化时，非线性系统负倒描述特性1()NA始终位于曲线的左侧，()Gj即曲线不包围临界()Gj点轨迹线，1()NA则非线性系统稳定，不可能产生自持振荡。24ReIm0()Gj1()NAA非线性系统稳定不产生自持振荡振幅增大方向角频率增大方向A25（2）如果线性部分频率特性由向()Gj0变化时，非线性系统负倒描述特性1()NA始终位于曲线的右侧，()Gj即曲线包围临界()Gj点轨迹线，1()NA在任何扰动作用下，则非线性系统不稳定。该系统的输出将无限增大，导致系统无法正常工作，系统不可能产生自持振荡。26ReIm0()Gj1()NAA非线性系统不稳定不产生自持振荡振幅增大方向角频率增大方向A27（3）如果线性部分频率特性由向()Gj0变化时，与非线性系统负倒描述特性1()NA曲线相交，即曲线通过临界点轨迹线上()Gj时的临界点，0AA或通过临界点轨迹线上及01AA02AA时的两个临界点，则非线性系统可能产生自持振荡。28ReIm0()Gj1()NAAa点对应一个自持振荡ab振幅增大方向角频率增大方向A不稳定区域29自持振荡的振幅是两条曲线交点处函数0A的自变元的值；1()NAA自持振荡的角频率是两条曲线交点处函数0的自变元的值。()Gj注释对应于自持振荡（极限环）的交点！30结论描述函数法是一种工程近似方法。当曲线()Gj与曲线垂直相交，1()NA或几乎垂直相交，而且，非线性元件的非正弦周期输出中的高次谐波已被充分滤波的情况下，用描述函数法得出的结果是较好的。317.6.2典型非线性特性对系统稳定性的影响1饱和特性对系统稳定性的影响饱和特性的负倒描述函数为21()2arcsin1NAaaakAAAAa当时，Aa11()NAk32当时，A1()NA饱和特性的负倒描述函数曲线在Nyquist图中是负实轴上区段。1,k33ReIm01kAaA1()NA()Gj稳定交点，代表稳定极限环34ReIm01kAaA1()NA()Gjb1b2b1为不稳定点b2为稳定点条件稳定系统35ReIm01kAaA1()NA()Gj系统稳定，无极限环36【例7-18】带有饱和特性的系统方块图如下，(0.11)(0.21)Ksss-exca0exk饱和特性的参数为：1a2k试求当开环增益时，15K自持振荡的振幅和角频率。0A0并求出使系统不产生自持振荡的最大开环增益的值。K37ReIm012A1()NA()Gj1a38本次课内容总结负倒描述函数的概念；非线性系统产生自持振荡的必要条件；在Nyquist图中非线性系统的稳定性判据；典型非线性特性对系统稳定性的影响；39《自动控制原理》课程结束。感谢您的认真听课！