刷题卷10-复数代数形式的加减运算及其几何意义

3．2复数代数形式的四则运算刷题卷10复数代数形式的加减运算及其几何意义知识点一复数的加减运算1.已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等于()A．8iB．6C．6＋8iD．6－8i答案B解析z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(4－4)i＝6，故选B.2．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为()A．a＝－3，b＝－4B．a＝－3，b＝4C．a＝3，b＝－4D．a＝3，b＝4答案A解析由题意可知z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i是实数，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i是纯虚数，故b＋4＝0，a＋3＝0，4－b≠0，解得a＝－3，b＝－4.知识点二复数加减运算的几何意义3.向量OZ1→对应的复数是5－4i，向量OZ2→对应的复数是－5＋4i，则OZ1→＋OZ2→对应的复数是()A．－10＋8iB．10－8iC．0D．10＋8i答案C解析由复数加法的几何意义知，OZ1→＋OZ2→对应的复数是(5－4i)＋(－5＋4i)＝0.故选C.4．在复平面内，复数1＋i和1＋3i分别对应向量OA→和OB→，其中O为坐标原点，则|AB→|＝()A.2B．2C.10D．4答案B解析由复数减法运算的几何意义知，AB→对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，∴|AB→|＝2.知识点三复数加减运算几何意义的应用5.已知z1＝2(1－i)，且|z|＝1，则|z－z1|的最大值是多少？解|z|＝1，即|OZ|＝1，∴满足|z|＝1的点Z的集合是以(0,0)为圆心，以1为半径的圆，又复数z1＝2(1－i)在坐标系内对应的点为(2，－2)．故|z－z1|的最大值为点Z1(2，－2)到圆上的点的最大距离，即|z－z1|的最大值为22＋1.易错点误将复数运算当作实数运算6.M＝{z||z＋1|＝1}，N＝{z||z＋i|＝|z－i|}，则M∩N＝________.易错分析本题易混淆复数运算与代数运算而造成解题错误，在复数运算中，若z＝a＋bi，则|z|＝a2＋b2，要注意与实数运算中的绝对值运算的区别．答案{0，－2}解析利用复数的几何意义解决问题．在复平面内，|z＋1|＝1的几何意义是以点(－1,0)为圆心，以1为半径的圆．|z＋i|＝|z－i|的几何意义是到点A(0,1)和点B(0，－1)距离相等的点的集合，是线段AB的垂直平分线，也就是x轴．M∩N的几何意义是x轴与圆的公共点对应的复数．故z＝0或z＝－2.∴M∩N＝{0，－2}．一、选择题1．设f(z)＝z，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于()A．1－3iB．－2＋11iC．－2＋iD．5＋5i答案D解析∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i，∴z1－z2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i，又∵f(z)＝z，∴f(z1－z2)＝z1－z2＝5＋5i.2．已知z1＝3－4i，z2＝－5＋2i，z1，z2对应的点分别为P1，P2，则P2P1→对应的复数为()A．－8＋6iB．8－6iC．8＋6iD．－2－2i答案B解析∵P2P1→＝OP1→－OP2→，∴P2P1→对应的复数为：z1－z2＝3－4i－(－5＋2i)＝(3＋5)＋(－4－2)i＝8－6i.3．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形答案B解析根据复数加(减)法的几何意义，知以OA→，OB→为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形AOB为直角三角形．4．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为()A．2B．4C．42D．16答案C解析由|z－4i|＝|z＋2|，得|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，即x＋2y＝3，∴2x＋4y＝2x＋22y≥22x＋2y＝223＝42，当且仅当x＝2y＝32时，2x＋4y取得最小值42.二、填空题5．实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则xy的值是________．答案1解析由题意得x＋y＋(x－y)i＝2，∴x＋y＝2，x－y＝0，∴x＝1，y＝1，∴xy＝1.6．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.答案－1解析z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，∴a2－a－2＝0，a2＋a－6≠0，解得a＝－1.7．设复数z满足条件|z|＝1，那么|z＋22＋i|的最大值是__________．答案4解析复数z满足条件|z|＝1，z所对应的点的轨迹是单位圆，而|z＋22＋i|即表示单位圆上的动点到定点(－22，－1)的距离．从图形上可得|z＋22＋i|的最大值是4.三、解答题8．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，若z1－z2＝13－2i，求z1，z2.解z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i.又∵z1－z2＝13－2i，∴(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i.∴5x－3y＝13，x＋4y＝－2，解得x＝2，y＝－1.∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i.z2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.9．在平行四边形ABCD中，已知AC→，DC→对应的复数分别为z1＝3＋5i，z2＝－1＋2i.(1)求BC→对应的复数；(2)求BD→对应的复数；(3)求平行四边形ABCD的面积．解