几种时频分析方法的比较和实际应用

第24卷第2期CT理论与应用研究Vol.24,No.22015年3月（199-208）CTTheoryandApplicationsMar.,2015刘海燕,田钢,石战结.几种时频分析方法的比较和实际应用[J].CT理论与应用研究,2015,24(2):199-208.doi:10.15953/j.1004-4140.2015.24.02.06.LiuHY,TianG,ShiZJ.Thecomparisonoftime-frequencyanalysismethodsandtheirapplications[J].CTTheoryandApplications,2015,24(2):199-208.(inChinese).doi:10.15953/j.1004-4140.2015.24.02.06.几种时频分析方法的比较和实际应用刘海燕，田钢，石战结（浙江大学理学院地球科学系，杭州310027）摘要：地震信号往往是非线性非平稳的，时频分析技术能同时展示信号在时间域和频率域的局部化特征。本文研究4种时频分析方法：短时傅里叶变换（STFT）、小波变换、广义S变换和Wigner-Ville分布。在理论上运用雷克子波模拟地震记录进行时频分析对比，发现广义S变换具有相对较好的时频聚焦性以及较好的交叉项抑制性。为了验证这一理论，我们分别在两个工区做了实际的地震实验，分析并阐述4种时频分析方法的优缺点，同时也验证广义S变换的优越性。关键词：时频分析；短时傅里叶变换；小波变换；广义S变换doi:10.15953/j.1004-4140.2015.24.02.06中图分类号：O24；P631.4+43文献标志码：A由于地震勘探中的信号是非平稳非线性的[1]，因此使用时频分析技术来处理这些非平稳的信号[2]。目前该方法已广泛地应用于地震勘探领域[3－11]。常用的方法主要有线性时频分析方法、二次型时频分布方法以及自适应时频分布方法等。线性类时频分析方法利用线性形式来描述信号频谱的变化，虽然说它的计算比较简单，而且不会存在交叉项干扰的问题，但是由于受到Heisenberg测不准原理的影响，会导致其时频分辨率受到一定限制，不能使时间分辨率和频率分辨率一起达到最优的效果。线性变换方法主要包括短时傅里叶变换（ShortTimeFourierTransform，STFT）、小波变换和S变换等；而非线性类使用非线性形式处理信号能量密度随着时间的变化，因为信号函数在时频分布的积分表达式中乘了两次，所以受到的交叉项干扰严重[12]，非线性类包括Wigner-Ville分布。由此可知，时频分辨率是判断时频分析方法好坏和时频聚焦性较好的指示。本文对比研究了4种时频分析的方法：包括短时STFT、小波变换、Wigner-Ville分布以及广义S变换。主要从时频分辨率、时频聚焦性以及交叉项干扰等几方面进行比较分析。同时，用不同频率的雷克子波模拟理论地震记录，进而进行对比分析，又在实测单道地震记录进行了应用和验证，希望能较好地阐明4种时频分析方法各自的优缺点。做这些工作是为了验证广义S变换的优越性，希望将来能够在不同地区的检波器选择上，利用双自由度或三自由度耦合系统模拟地震记录，结合时频分析技术，理论上能够给出一个收稿日期：2015-01-05。CT理论与应用研究24卷200工区最优检波器的选择方案。1各时频分析方法的原理1.1STFT在所有时频分析方法中，STFT是最简单最常用的一种方法。其变换的定义为：(,)(t)()exp(2)dHfhgtift=（1）其中，h(t)为输入信号，g(t)为时窗函数。其频谱是通过滑动时窗来计算的，故而时频率分辨率会受到Heisenberg测不准原理的限制，即利用短窗口时时间分辨率高，频率分辨率较低；而利用长窗口时频率分辨率较高，时间分辨率较低。一旦STFT确定了窗函数，则与之相应的时频分辨率也确定。可以看出，STFT是一种单一分辨率的分析方法。1.2小波变换小波分析是窗口面积大小固定，但时频窗口都可以改变的时频分析方法。最开始法国物理学家Morlet发现了人工地震勘探信号的特点，信号的低频部分具有较高的频率分辨率，而在高频部分的频率分辨率是较低的。后来Chakraborty等[13]应用小波变换方法来进行时频分析，结果发现小波变换可以满足实际应用的要求。然而小波变换也有它固有的缺点，即小波变换后的相位信息是局部的，因而会造成资料难以解释。小波变换针对不同的频率可以选择不同的时窗，针对高频信号选择较窄时窗，反之低频信号选择较宽时窗。已知信号h(t)的连续小波变换定义为：+1*2(,)()dtWaahtta（2）式中α为伸缩尺度，τ为平移因子，()t为小波母函数，满足()d,0CC（3）反变换定义为：2*01(t)(,)ddthaWaaCa（4）小波变换优于傅里叶变换的一点在于它可以显示信号的局部特征，而傅里叶变换则是研究信号的整体特性。虽然说小波变换克服了STFT分辨率单一的缺点，但是小波变换分析非平稳信号是在所谓的时间-尺度平面上，而不是在真正的时频平面上，所以说，在小波分2期刘海燕等：几种时频分析方法的比较和实际应用201析中，我们以分辨率来分析信号，也就是说小波分析的基本点是这种多尺度的观点。1.3广义S变换S变换最早是由Stockwell等[5]提出，它的基本小波是Morlet小波。信号h(t)的S变换定义为：2212()()()expexp2d2(2)ftfSfhtiftt,（5）定义2212()(,)expexp22(2)ftftfif为基本小波，它是由高斯函数和简谐波的乘积所构成的。与连续小波变换不同，在S变换中，简谐波在时间域只能做伸缩变换，而高斯函数既可以伸缩也可以平移。但是由于S变换只考虑高斯窗函数，所以它的时频分辨率是固定不变的，为了解决这一问题，通过对S变换的高斯窗进行改造，给出广义S变换为：22212()(()expexp2d2(2)ppfftSfhtift,)=（6）式中，0,0p。当λ=1，p=1时，即为标准S变换。1.4Wigner-Ville分布Wigner-Ville分布是双线性类时频分布，信号x(t)的Wigner-Ville分布定义为：*(,)texp()d22xWtwxxtjwt（7）利用Wigner-Ville进行时频分析时，x(t)出现了两次，故称其为双线性变换。由于式中不含任何窗函数，因此就避免了在线性时频分析方法中其时间分辨率以及频率分辨率不能兼顾的矛盾。Wigner-Ville分布的时频分辨率很高，也有很好的时频聚集性，比较适合分析非平稳的信号，但是其缺点是时频面存在很严重的交叉项干扰问题，影响了时频分析的结果。2时频分析方法对比为了比较4种时频分析方法的应用效果，我们利用Ricker子波模拟理论地震记录，并且利用STFT、小波变换、广义S变换和Wigner-Ville分布分别对理论合成的地震记录进行时频分析。为简明起见设计了5种不同频率的Ricker子波来合成地震记录，在100ms时对应的是地震子波主频为10Hz的反射；在250ms时对应的是地震子波主频为40Hz的反射；在350ms时对应的是地震子波主频为60Hz的反射；在450ms时对应的是100Hz的反射；在550ms时对应的是120Hz的反射。图1为雷克子波模拟的地震记录的时域与频域波形图。图2为4种时频分析方法对该道地震记录进行的时频分析。CT理论与应用研究24卷202图1合成地震记录的时域与频域波形图Fig.1Thetime-domainandfrequency-domainwaveformofasyntheticseismogram（a）STFT时频谱（b）小波变换时频谱（c）Wigner-Ville分布时频谱（d）广义S变换时频谱图2合成记录的4种时频分析方法时频谱对比Fig.2Thespectrumcomparisonoffourtime-frequencyanalysismethodsofsyntheticrecord2期刘海燕等：几种时频分析方法的比较和实际应用203从图2（（a）～（d））比较得出，从时频分辨率来分析，图2（a）STFT由于采用固定的窗函数，使得其时频分辨率是固定不变的，虽然它能给出信号的联合时频特征，但在整体上呈现分辨率较低的情况；图2（b）小波变换在低频端频域分辨率很高，但是时间分辨率低，而在高频端时间分辨率比较好，频率分辨率相对来讲有些下降；图2（c）Wigner-Ville分布为双线性时频分析，其必然会有交叉项的影响，能量也比其他几种时频分析方法稍弱；从图2（d）广义S变换的时频谱上可以看出，广义S变换采用的高斯窗函数依据信号的频率不同，做出相应的窗口的改变，并且修正了小波变换的相位问题，因此在时频谱上相比，其时间分辨率和频率分辨率都有明显的改善。3不同工区实际地震资料计算对比为了实际地验证这4种时频分析方法的有效性，我们采集了两种不同地表条件的地震数据。一个实验区位于浙江省杭州市良渚地区，另一个位于浙江大学紫金港校区实验基地。利用双向动三轴实验系统（弯曲元测试系统）测得两个地区的土样含水率ω，试样湿密度ρ和试样剪切波速v，如表1所示：表1紫金港和良渚地区实际测得的地表参数Table1TheactualmeasuredsurfaceparametersofZijingangandLiangzhu取样地点ω/％ρ/（g·cm）v/（m·s-1）紫金港29.361.8278.8良渚21.341.73122.0仪器名称：双向动三轴实验系统（弯曲元测试系统），规格：10Hz/20kN试样尺寸：直径70mm，试样高度140mm图3良渚实验区实际单道地震记录时域和频域波形图Fig.3Thetime-domainandfrequency-domainwaveformofanactualsingle-channelseismograminLiangzhu3.1良渚地区该实验区位于浙江省杭州市良渚地区，实验中采用24道地震仪，偏移距0.5m，多道测量选择其中第四道，偏移距2m，采样间隔0.05ms，采样点数2048点。图3为CT理论与应用研究24卷204实际地震记录的时域波形图和频域波形图，图4为利用4种时频分析方法得到的时频图的对比。（a）STFT时频谱（b）小波变换时频谱（c）Wigner-Ville分布时频谱（d）广义S变换时频谱图4良渚地区4种时频分析方法的时谱图对比Fig.4Thespectrumcomparisonoffourtime-frequencyanalysismethodsinLiangzhu图5紫金港实验区单道地震记录的时域和频域波形图Fig.5Thetime-domainandfrequency-domainwaveformofanactualsingle-channelseismograminZijingang2期刘海燕等：几种时频分析方法的比较和实际应用205综合图4的时频谱来看，STFT的对良渚地区的单道地震记录的时频分析的时频分辨率很不理想；小波变换只在低频的部分有较好的分辨率，高频端响应较差；Wigner-Ville分布的时频聚焦性比前两种方法好，但是交叉项干扰的比较严重；比较而言来讲，广义S变换的效果最好，既在低频端有好的时频分辨率，高频端的分辨率也相对较好。3.2紫金港地区该实验区位于浙江省杭州市浙江大学紫金港校区实验场地，采用24道地震仪进行数据采集，单道测量，偏移距2m，采样间隔0.05ms，采样点数2048点。图5为实际地震记录的时域波形图和频域波形图。图6为利用4种时频分析方法得到的时频图的对比。（a）STFT时频谱（b）小波变换时频谱（c）W