2012新课标同步导学(数学人教A)必修5课件2-3第2课时等差数列前n项和的性质

•第2课时等差数列前n项和的性质•1.进一步了解等差数列的定义，通项公式以及前n项和公式．•2.理解等差数列的性质，等差数列前n项和公式的性质应用．•3.掌握等差数列前n项和之比问题，以及实际应用.•1.对等差数列的通项公式、前n项和公式的考查是本课时的热点．•2.常与函数、不等式结合命题．•3.多以选择题和解答题的形式考查.1．数列的通项与前n项和的关系数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an与an有如下关系：an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2，【特别提醒】若已知数列{an}的前n项和Sn，求数列的通项公式an时，要分两步进行；先求当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，此时令n＝1，求a1.若a1＝S1，则an即为所求，若a1≠S1，则an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2，即表示为分段函数形式．2．等差数列前n项和公式的性质Sn＝na1＋nn－12d＝d2n2＋a1－d2n.可以写成自变量n∈N*的函数式，其图象是分布在抛物线上的一系列点，d2为二次项系数，a1－d2为一次项系数，常数项为.所以当d≠0时，其Sn是关于n的无常数项的函数．二次0•1．数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n(n∈N*)，则数列{an}为()•A．首项为1，公差为2的等差数列•B．首项为3，公差为2的等差数列•C．首项为3，公差为4的等差数列•D．首项为5，公差为3的等差数列•解析：当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋1＝3.•当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1.•又a1＝4×1－1＝3，∴公差d＝a2－a1＝4×2－1－3＝4.•∴{an}是首项为3，公差为4的等差数列，故选C.•答案：C•2．若一个等差数列{an}的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有()•A．13项B．12项•C．11项D．10项•答案：A解析：a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，所以3(a1＋an)＝180，即a1＋an＝60.由Sn＝390，知na1＋an2＝390，所以n×602＝390，解得n＝13.故选A.•3．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.•解析：由等差数列的性质S9＝9a5＝72，a5＝8，a2＋a4＋a9＝a1＋a5＋a9＝3a5＝24，故填24.•答案：244．(1)等差数列{an}中，a2＋a7＋a12＝24，求S13.(2)等差数列{an}的公差d＝12，且S100＝145，求a1＋a3＋a5＋…＋a99.解析：(1)∵a2＋a12＝a1＋a13＝2a7，又a2＋a7＋a12＝24，∴a7＝8.∴S13＝13a1＋a132＝13×8＝104.(2)∵S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝2(a1＋a3＋…＋a99)＋50d＝145，又d＝12，∴a1＋a3＋…＋a99＝60.已知下列各数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式．(1)Sn＝－32n2＋2052n；(2)Sn＝3n－2.[解题过程](1)a1＝S1＝－32×12＋2052×1＝101，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－32n2＋2052n－－32n－12＋2052n－1＝－3n＋104.∵n＝1也适合上式，∴数列通项公式为：an＝－3n＋104(n∈N*)．(2)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2·3n－1.∵a1＝1不符合an＝2·3n－1，∴an＝1n＝12·3n－1n≥2.[题后感悟]已知数列{an}的前n项和Sn或Sn与an的关系式，求通项an有如下关系an＝S1n＝1Sn－Sn－1n≥2.特别当n≥2时，若求出an也符合n＝1，可直接写成an＝Sn－Sn－1，否则分段表示．,•1.(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－3n＋1，求通项公式an；•(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝(－1)n＋1·n，求通项公式an.解析：(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－3n＋1－[(n－1)2－3(n－1)＋1]＝2n－4，当n＝1时，a1＝S1＝－1不适合上式，∴an＝－1n＝1，2n－4n≥2.(2)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1n－(－1)n(n－1)＝(－1)n(－2n＋1)，由于a1也符合此等式，因此an＝(－1)n(－2n＋1)(n∈N*)．•一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．由题目可获取以下主要信息：①S10＝100，S100＝10；②此数列为等差数列．解答本题可充分利用等差数列前n项和的有关性质解答．[解题过程]方法一：设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则Sn＝na1＋nn－12d.由已知得10a1＋10×92d＝100①100a1＋100×992d＝10②①×10－②，整理得d＝－1150.代入①，得a1＝1099100，∴S110＝110a1＋110×1092d＝110×1099100＋110×1092×－1150＝110×1099－109×11100＝－110，故此数列的前110项之和为－110.方法二：设Sn＝an2＋bn，∵S10＝100，S100＝10，∴102a＋10b＝1001002a＋100b＝10⇒a＝－11100b＝11110，∴Sn＝－11100n2＋11110n，∴S110＝－11100×1102＋11110×110＝－110.方法三：数列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列．设其公差为D，前10项的和10S10＋10×92·D＝S100＝10⇒D＝－22，∴S110－S100＝S10＋(11－1)D＝100＋10×(－22)＝－120，∴S110＝－120＋S100＝－110.方法四：∵S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝90a11＋a1002＝90a1＋a1102.又S100－S10＝10－100＝－90，∴a1＋a110＝－2，∴S110＝110a1＋a1102＝－110.方法五：设数列{an}的公差为d.由于Sn＝na1＋nn－12d，则Snn＝a1＋d2(n－1)．∴数列Snn是等差数列，公差为d2.∴S100100－S1010＝(100－10)d2，且S110110－S100100＝(110－100)d2，将已知数值代入上式，消去d，可得S110＝－110.•[题后感悟]本题解法较为灵活，方法一、二建立方程(组)计算属于通性通法．方法三、四、五直接应用性质简捷明快，起到事半功倍的效果．•2.(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6等于()•A．12B．18•C．24D．42•(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm＝1，S3m＝4，试求S6m.•解析：(1)S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，即2,8，S6－10成等差数列，S6＝24.•(2)∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m…成公差为d的等差数列•∴设S2m－Sm＝x，则S3m－S2m＝2x－1∴1＋x＋(2x－1)＝4，解得x＝43，∴所以该数列的公差d＝43－1＝13.S6m相当于以Sm＝1为首项，d＝13的数列的前6项的和．S6m＝6×1＋6×52×13＝11.答案：(1)C•已知数列{an}为等差数列，其前12项和354，在前12项中，偶数项之和与奇数项之和的比为32∶27，求这个数列的通项公式．利用等差数列前n项和公式列方程组求解或根据等差数列的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等差数列求解．[规范作答]方法一：由等差数列的性质可知奇数项a1，a3，a5，…，a11与偶数项a2，a4，a6，…，a12仍然成等差数列，2分设{an}的首项为a1，公差为d，则S偶＝a2×6＋6×52×2d＝6a1＋36d，4分S奇＝a1×6＋6×52×2d＝6a1＋30d，6分∴12a1＋66d＝354，6a1＋36d6a1＋30d＝3227，解得a1＝2，d＝5.10分∴an＝a1＋(n－1)d＝5n－3.12分方法二：设奇数项与偶数项的和分别为S奇，S偶，∴S偶＋S奇＝354，S偶S奇＝3227，2分∴S偶＝192，S奇＝162，4分∴d＝192－1626＝5，6分又∵S奇＝a1＋a11×62＝3(2a1＋10d)＝162，∴a1＝2，8分∴an＝a1＋(n－1)d＝5n－3.12分•[题后感悟]等差数列{an}中，a1，a3，a5，…是首项为a1，公差为2d的等差数列，a2，a4，a6，…是首项为a2，公差为2d的等差数列．当项数为2n时，S偶－S奇＝nd，方法2中运用到了这些3.等差数列{an}的奇数项的和为51，偶数项的和为4212，首项为1，项数为奇数，求此数列的末项及通项公式．解析：设等差数列{an}的项数为2k＋1，则数列的中间项为ak＋1，偶数项有k项，奇数项有k＋1项，于是S奇＝12(k＋1)(a1＋a2k＋1)＝(k＋1)ak＋1＝51，①S偶＝12k(a2＋a2k)＝kak＋1＝4212，②①÷②，得k＋1k＝514212，解得k＝5，∴数列共有11项．将k＝5代入①，得a6＝516＝172.又a1＋a11＝2a6，∴a11＝2a6－a1＝2×172－1＝16，(或a1＋5d＝172，1＋5d＝172，d＝32.因此末项a11＝16)通项公式an＝1＋(n－1)d＝3n－12(n∈N*，n≥1)．有两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，若SnTn＝7n＋2n＋3，求a5b5.由题目可获取以下主要信息：①{an}、{bn}分别为等差数列；②SnTn＝7n＋2n＋3.解答本题可充分利用前n项和公式及等差中项的关系解决．[解题过程]方法一：a5b5＝2a52b5＝a1＋a9b1＋b9＝9a1＋a929b1＋b92＝S9T9＝7×9＋29＋3＝6512.方法二：因为SnTn＝7n＋2n＋3，所以设Sn＝(7n＋2)kn，Tn＝(n＋3)·kn.∴a5＝S5－S4＝65k，b5＝T5－T4＝12k，∴a5b5＝65k12k＝6512.[题后感悟](1)数列{an}，{bn}为等差数列，Sn，Tn分别为其前n项和，则ambm＝S2m－1T2m－1.(2)由SnTn＝7n＋2n＋3，设Sn与Tn时，如果设成Sn＝(7n＋2)k，Tn＝(n＋3)k则错误．从此例的性质方向讲是正确的．但要考虑到等差数列的前n项和为关于n的二次函数，所以应设为Sn＝(7n＋2)kn，Tn＝(n＋3)kn.,两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若SnTn＝2n3n＋1，求anbn.解析：方法一：设an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1＋(n－1)e.取n＝1，则a1b1＝S1T1＝12，所以b1＝2a1.所以SnTn＝na1＋nn－12dnb1＋nn－12e＝a1＋n－12db1＋n－12e＝a1＋n2d－d22a1＋n2e－e2＝2n3n＋1，故en2＋(4a1－e)n＝32dn2＋3a1－32d＋d2n＋a1－d2.从而a1－d2＝0，4a1－e＝3a1－d，e＝32d.即d＝2a1，e＝3a1.所以anbn＝2n－13n－1.方法二：设Sn＝an2＋bn，Tn＝pn2＋qn(a，b，p，q为常数)，则SnTn＝an＋bpn＋q＝2n3n＋1，所以3an2＋(3b＋a)n＋b＝2pn2＋2qn，从而3a＝2p，3b＋a＝2q，b＝0，即a＝2q，b＝0