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1断裂力学复习题1.裂纹按几何特征可分为三类,分别是(穿透裂纹)、(表面裂纹)和(深埋裂纹)。按力学特征也可分为三类,分别是(张开型)、(滑开型)和(撕开型)。2.应力强度因子是与(外载性质)、(裂纹)及(裂纹弹性体几何形状)等因素有关的一个量。材料的断裂韧度则是(应力强度因子)的临界值,是通过(实验)测定的材料常数。3.确定应力强度因子的方法有:(解析法),(数值法),(实测法)。4.受二向均匀拉应力作用的“无限大”平板,具有长度为2a的中心贯穿裂纹,求应力强度因子ⅠK的表达式。【解】将x坐标系取在裂纹面上,坐标原点取在裂纹中心,则上图所示问题的边界条件为:①当y=0,x→∞时,yx;②在y=0,ax的裂纹自由面上,0,0xyy;而在ax时,随ax,y。2可以验证,完全满足该问题的全部边界条件的解析函数为22Ⅰ)(azzzZ(1)将坐标原点从裂纹中心移到裂纹右尖端处,则有z=ζ+a或ζ=z-a,代入(1),可得:)2()()(IaaZ于是有:aaaaaK)2()(2lim)2()(2lim00Ⅰ5.对图示“无限大”平板Ⅱ型裂纹问题,求应力强度因子ⅡK的表达式。3【解】将x坐标系取在裂纹面上,坐标原点取在裂纹中心,则上图所示问题的边界条件为:①当y=0,x→∞时,xyyx,0;②在y=0,ax的裂纹自由面上,0,0xyy;而在ax时,随ax,xy。可以验证,完全满足该问题的全部边界条件的解析函数为22Ⅱ)(azzzZ(1)将坐标原点从裂纹中心移到裂纹右尖端处,则有z=ζ+a或ζ=z-a,代入(1),可得:)2()()(ⅡaaZ于是有:aaaaaK)2()(2lim)2()(2lim00Ⅱ6.对图示“无限大”平板Ⅲ型裂纹问题,求应力强度因子ⅢK的表达式。4【解】将x坐标系取在裂纹面上,坐标原点取在裂纹中心,则上图所示问题的边界条件为:①当y=0,x→∞时,lyzyx,0;②在y=0,ax的裂纹自由面上,0,0xyy;而在ax时,随ax,yz。可以验证,完全满足该问题的全部边界条件的解析函数为22Ⅲ)(azzzZl(1)将坐标原点从裂纹中心移到裂纹右尖端处,则有z=ζ+a或ζ=z-a,代入(1),可得:)2()()(ⅢaaZl于是有:aaaaaKlll)2()(2lim)2()(2lim00Ⅲ7.“无限大”平板中,在长度为2a的中心贯穿裂纹表面上,距裂纹中点为x=±b处各作用一对集中力p,求应力强度因子IK的表达式。5【解】对图示裂纹问题,取解析函数的表达式为:222222I)(2)(azbzbapzzZ(1)可以验证,该解析函数满足这个裂纹问题的下述边界条件:①在z→∞处,0,0,0xyyx;②在0,0,,xyybxax外的裂纹面上除;③如果切出xy坐标系第一象限的薄平板,在x轴所在的截面上,内力的总和应该等于劈开力p,即aydxt=p(其中,t是薄平板的厚度)。将坐标原点移到裂纹右尖端后,新坐标为az,代入(1)式得:)2(])[()(2)(2222IababaapZ于是有:6)(22])[()(22lim)2(])[()(22lim222222022220IbaapababaapababaapK8.在“无限大”平板的裂纹表面上,从axaxaxax到和从到11的这两部分裂纹面上,受均匀分布的张力p作用,试求裂纹尖端应力强度因子ⅠK的表达式。(不讲)【解】取微分段dx,其上作用的张力为dp=pdx,利用距裂纹中点为x=±b处各作用一对集中力p时应力强度因子的结果可得,这个微分段上的张力在裂纹尖端处的应力强度因子为)(222IxaapdxdK于是有:aaxaapdxK1)(222I(1)令dadxaxaaxcos,cos,sin22则,代入7(1)式可得aaapaaapadaapKaaaa1111)(sin)(sinIcos2sin22coscos21119.在“无限大”平板的裂纹表面上,从axax到的这两部分裂纹面上,受均匀分布的张力p作用,试求裂纹尖端应力强度因子ⅠK的表达式。【解】取微分段dx,其上作用的张力为dp=pdx,利用利用距裂纹中点为x=±b处各作用一对集中力p时应力强度因子的结果可得,这个微分段上的张力在裂纹尖端处的应力强度因子为)(222IxaapdxdK于是有:axaapdxK022I)(2(1)令dadxaxaaxcos,cos,sin22则,代入(1)8式可得apapadaapKaaa22coscos2)(sin)0(sinI1110.试用迭加原理求如图所示裂纹问题的裂尖应力强度因子ⅠK的表达式。(a)(b)【解】该受力图可以看成是图(a)和图(b)两种受力情况的线性迭加。而图(b)构件的受力与裂纹表面平行,因此它所对应的应力强度因子ⅠK=0,因此,原图构件的应力强度因子与图(a)的应力强度因子相等。前面已经求得图(a)的应力强度因子为a,因此,原图构件的应力强度因子为9aKⅠ11.中心具有穿透裂纹的厚板条(平面应变情况),远端承受均匀拉伸作用,板的宽度为200mm,裂纹长度为80mm,板的材料为铝合金,其ICK=38MN/m3/2,计算此板条的临界载荷。【解】这是一个中心具有贯穿裂纹的有限宽板条拉伸问题,其应力强度因子为aKI式中的α为几何形状因子,经查表得WatgaW式中的a为裂纹半长度,W为板宽。裂纹处于临界状态时所作用的应力就是构件的临界载荷,设其为C,将C代入IK的表达式,并令ICIKK得ICCKWatgaWa于是有)MNm(7992.00402.038-2ICC..tgWatgaWaK这就是说,在所给条件下,当板的拉伸应力达到-2MNm799.时,裂纹发生失稳扩展。12.某种合金钢在不同回火温度下,测得性能如10下:275°回火时,52,MN/m1780IC2SKMN/m3/2;600°回火时,100,MN/m1500IC2SKMN/m3/2。设应力强度因子为aK11I.,且工作应力为S50.。试求两种温度下构件的容限裂纹尺寸a,并确定选用哪种材料较好。【解】当ICIKK时,对应的裂纹尺寸a就是容限裂纹尺寸,记为Ca。此时有IC11Ka.,于是得:2ICC111.Ka当275°回火时,mmma9000090178050115212C....,当600°回火时,mmma66400466015005.01.110012C..。从强度指标看这种合金钢275°回火温度略优于600°回火温度,但从断裂韧性指标来看,600°回火温度比275°回火温度好得多。事实上,构件中90.mm的裂纹是难以避免的,因此从全面考虑,应选600°的回火温度。13.要设计一个高强度材料的压力容器,设计许用应力[σ]=1400MN/2m,采用的无损探伤设备只能发现大于1mm深度的裂纹。因此可以假定容器内壁焊11缝热影响区沿母线方向(这是最不利的位置和最不利方向)存在深度a=1mm,长度c=2a的表面浅裂纹。现有A、B两种材料,其屈服极限S分别为2100MN/2m和1700MN/2m;其焊缝热影响区的平面应变断裂韧度ICK分别为546.MN/m3/2和477.MN/m3/2。全面考虑,应选择哪一种材料?【解】从静强度分析:材料A的强度储备为5114002100][)(.ASAn材料B的强度储备为22114001700][)(.BSBn两种材料均满足强度要求,但A材料强度储备高于B材料。从断裂力学的观点分析:所给的问题可以理想化为半“无限大”体具有表面半椭圆形裂纹受均匀拉伸应力作用的情况,其应力强度因子可写为aKI式中的α为几何形状因子,查表可得)(1121kE.,考虑到裂尖处由于高度的应力集中引起的小塑性区,α可修正为Q1121.式中212221,212.0)(cakkEQS,)(kE为第12二类完整椭圆积分。可查表得到。取许用应力[σ]作为容器的工作应力,也就是取σ=[σ]=1400MN/2m,则321)(2120)(2122..ASAkEQ261)(2120)(2122..BSBkEQAICAAKmMNQaK)(/7532100101400121121)(23I....BICBBKmMNQaK)(/77626100101400121121)(23I.....由此可见,本问题中选择B材料比选择A材料优越,它既满足强度要求,又有合适的抗断裂能力。如果此时仅按传统设计思想而不从断裂力学的观点分析,选用A种材料,必然会导致容器低应力脆断。14.简述用有限单元法计算应力强度因子的方法。(1)位移法13有限元位移法计算裂尖K因子无限大平板上的Ⅰ型裂纹的裂尖处的位移分量为:2cos212sin222sin212cos222I2IrGKvrGKu当0时,应有:)1(22rGKuI(1)其中,平面应变平面应力43)1/()3(G是材料的剪切弹性模量。用有限元法可以得出裂纹尖端区域0线上r不同的一些结点的位移值u,将各点的r和u值分别代入(1)式,就可得到这些结点对应的不同的应力强度因子IK,称为各结点的表观应力强度因子。即:rGuK212I14将各点的IK作为纵坐标,将各点的r作为横坐标,把这些点画在直角坐标系中,然后用最小二乘法拟合,绘出最佳直线,然后将这条直线外推到r=0处,与纵坐标轴相交所得的截距M,就是裂纹尖端的IK值。(b)应力法“无限大”平板的Ⅰ型裂纹裂尖处沿y轴的应力为23sin2sin12cos2IrKy在0线上各点沿y轴的应力为rKy2I(1)用有限元法可以得出裂纹尖端区域0线上r不同的一些结点的y,将各点的r和y值分别代入(1)式,得到这些结点对应的表观应力强度因子为:rKy2I与位移法类似,将有限元法算得的0线上各点的IK作为纵坐标,将各点的r作为横坐标,把这些点画在直角坐标系中,然后用最小二乘法拟合,绘出最佳直线,然后将这条直线外推到r=0处,与纵坐标轴相交所得的截距M,就是裂尖的IK值。15.简述用光弹性法测应力强度因子的方法。对于Ⅰ型裂纹,在裂尖附近处的应力分量为1523cos2sin2cos223sin2sin12cos223sin2sin12cos2IIIrKrKrKxyyx由材力中的应力圆知识可得22max)()2(xyyx221max而由平面应力~光学定律可得:hnf21其中n~光弹性模型上被测点处的等差线条纹级数;f~光弹性材料的材料条纹值(N/m.条);h~光弹性试件的厚度(m)。以上各式联立得:hnfrKsin2I(1)16Ⅰ型裂纹等差线条纹图ⅠK—r曲线通过平面光弹性实
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