《分式》复习讲义

课时一：初中数学《分式》复习讲义知识考点：分式运算是初中代数计算的综合运用，它与整式运算相比，步骤增多，符号变化复杂，方法比较灵活。了解分式的概念，熟练掌握分式的基本性质，并能灵活运用它进行分式的约分、通分及计算是解题的关键。精典例题：【例1】（1）当x为何值时，分式2122xxx有意义？（2）当x为何值时，分式2122xxx的值为零？分析：①判断分式有无意义，必须对原分式进行讨论而不能讨论化简后的分式；②在分式BA中，若B＝0，则分式BA无意义；若B≠0，则分式BA有意义；③分式BA的值为零的条件是A＝0且B≠0，两者缺一不可。答案：（1）x≠2且x≠－1；（2）x＝1【例2】计算：（1）212242aaaa（2）222xxx（3）xxxxxx2421212分析：（1）题是分式的乘除混合运算，应先把除法化为乘法，再进行约分，有乘方的要先算乘方，若分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式；（2）题把2x当作整体进行计算较为简便；（3）题是分式的混合运算，须按运算顺序进行，结果要化为最简分式或整式。答案：（1）21a；（2）24x；（3）12xx【例3】计算：（1）xyxyxxyxyxx3232（2）4214121111xxxx分析：对于特殊题型，可根据题目特点，选择适当的方法，使问题简化。（1）题可以将yx看作一个整体yx，然后用分配律进行计算；（2）题可采用逐步通分的方法，即先算xx1111，用其结果再与212x相加，依次类推。答案：（1）yxx2；（2）818x探索与创新：【问题】先阅读下列文字，再解答下列问题：初中数学课本中有这样一段叙述：“要比较a与b的大小，可先求出a与b的差，再看这个差是正数、负数还是零。”由此可见，要判断两个代数式值的大小，只要考虑它们的差就可以了。试问：甲乙两人两次同时在同一粮店购买粮食（假设两次购买粮食的单价不相同），甲每次购买粮食100千克，乙每次购粮用去100元。（1）假设x、y分别表示两次购粮的单价（单位：元／千克）。试用含x、y的代数式表示：甲两次购买粮食共需付款元；乙两次共购买千克的粮食；若甲两次购粮的平均单价为每千克1Q元，乙两次购粮的平均单价为每千克2Q元，则1Q＝；2Q＝。（2）规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，请你判断甲乙两人的购粮方式哪一个更合算些？并说明理由。跟踪训练：一、填空题：1、当x时，分式422xx有意义。当x时，分式1872xxx的值为零。当x时，分式xx61212的值为负数。当x时，分式xx322的值为－1。2、计算：①xx112＝。②232xyxyyx＝。③mnnnmm22＝。④1112aaa＝。3、已知311yx。则分式yxyxyxyx2232的值为。4、若x＜0，则3131xx＝。5、若分式1xx的值是整数，则整数x的值是。6、请你先化简，再选一个使原式有意义，而你又喜爱的数值代入求值：112223xxxxxx＝。二、选择题：1、在代数式13xx、212x、23yx、23aba、112xx、a中，分式的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个2、已知963222xxxx的值为零，则2x的值是（）A、－1或91B、1或91C、－1D、13、甲瓶盐水含盐量为m1，乙瓶盐水含盐量为n1，从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水混合制成新盐水的含盐量为（）A、mnnm2B、mnnmC、mn1D、随所取盐水重量而定三、计算题：1、25223xxxx2、421444122xxxxx3、1222222nmnnmnmnnmnmnm4、211111284222aaaaaaaaaa四、阅读下面题目的计算过程：xxx12132＝1112113xxxxxx①＝123xx②＝223xx③＝1x④（1）上面计算过程从哪一步开始出现错误，请写出该步的代号。（2）错误原因是。（3）本题的正确结论是。五、问题探索：（1）已知一个正分数mn（m＞n＞0），如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大还是减小？请证明你的结论。（2）若正分数mn（m＞n＞0）中分子和分母同时增加2，3…k（整数k＞0），情况如何？（3）请你用上面的结论解释下面的问题：建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10％，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由。分式方程增根例析解分式方程的基本方法是通过去分母把分式方程转化为整式方程，解分式方程时，有可能产生增根（使方程中有的分母为零的根），因此解分式方程要验根（其方法是把求得的根代入最简公分母中，使分母为零的是增根，否则不是）.精典例题：【例1】解方程xx415＝0.解：方程两边同乘x（x+1），得5x-4（x+1）=0.化简，得x-4=0.解得x=4.检验：当x=4时，x（x+1）=4×（4+1）=20≠0，∴x=4是原方程的解.【例2】解方程114112xxx解：原方程可化为1)1)(1(411xxxx，方程两边同乘（x+1）（x-1），得（x+1）2-4=（x+1）（x-1）.化简，得2x-3=-1.解得x=1.检验：x=1时（x+1）（x-1）=0，x=1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解.【点评】去分母时，方程两边同乘以最简公分母，不能漏乘常数项.【例3】解方程51614171xxxx.解：原方程可变形为41615171xxxx.解得x=211.检验：当x=211时，（x-7）（x-5）（x-6）（x-4）≠0，所以x=211是原方程的解.【点评】此题若直接去分母，就会出现三次式，且计算较为复杂，该类型题的简单解法为：只把方程等号两边转化为两个分式之差，且等号两边分母的差相等；再把方程等号两边的分式分别通分，会得到两个同分子的分式相等，从而得分母相等，此解法叫做“分组通分法”.【例4】若关于x的方程xxkxxxk2225111有增根x=-1，求k的值.解：原方程可化为)1(5)1(1)1)(1(1xxkxxxxk.方程两边同乘x（x+1）（x-1）得x（k-1）-（x+1）=（k-5）（x-1）.化简，得3x=6-k.当x=-1时有3×（-1）=6-k，∴k=9.【点评】因为增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值．解分式方程误区点拨一、漏乘公分母【例1】解方程23132xxx.错解：方程两边都乘以（x-3），得2-x=-1-2，解这个方程，得x=5.错解分析：解分式方程需要去分母，根据等式的性质，在方程两边同乘以（x-3）时，应注意乘以方程的每一项.错解在去分母时，-2这一项没有乘以（x-3），另外，求到x=5没有代入原方程中检验.正解：方程两边都乘以（x-3），得2-x=-1-2（x-3），解得x=3检验：将x=3代入原方程，可知原方程的分母等于0，所以x=3是原方程的增根，所以原方程无解.二、去分母时漏添括号【例2】解方程011132xx.错解：方程化为11)1)(1(3xxx＝0，方程两边同乘以（x＋1）（x－1），得3-x-1=0，解得x=2.所以方程的解为x=2.错解分析：当分式的分子是一个多项式，去掉分母时，应将多项式用括号括起来.错解在没有用括号将（x－1）括起来，出现符号上的错误，而且最后没有检验.正解：方程两边都乘以（x＋1）（x－1），得3-（x－1）=0，解这个方程，得x=4．检验:当x=4时，原方程的分母不等于0，所以x=4是原方程的根.探索与创新：【问题】1．已知方程有增根，确定字母系数值例1：若方程323xmxx有增根，则m的值为（）A．－3B．3C．0D．以上都不对2．已知方程无解，确定字母系数值例2：若方程132323xmxxx无解，则m的值为（）A．－1B．3C．－1或3D．－1或533．已知方程无增根，确定字母系数值例3：若解关于x的方程1112xxxkxx不会产生增根，则k的值为（）A．2B．1C．不为±2的数D．无法确定变式：1.若关于x的方程1101axx有增根，则a的值为__________________.2.若关于x的方程2233xmxx无解，则m的值是_________.3.关于x的方程3xx-2=3xm有一个正数解，求m的取值范围_________4.甲工人工作效率是乙工人工作效率的212倍，他们同时加工1500个零件，甲比乙提前18个小时完工，问他们每人每小时各加工多少个零件？跟踪训练：一、选择题：1．方程132xx的解为()．(A)2(B)1(C)－2(D)－12．解分式方程,12112xx可得结果()．(A)x＝1(B)x＝－1(C)x＝3(D)无解3．要使54xx的值和xx424的值互为倒数，则x的值为()．(A)0(B)－1(C)21(D)14．已知,4321yyxx若用含x的代数式表示y，则以下结果正确的是()．(A)310xy(B)y＝x＋2(C)310xy(D)y＝－7x－25．若关于x的方程xkx1113有增根，则k的值为()．(A)3(B)1(C)0(D)－16．若关于x的方程323xmxx有正数解，则()．(A)m＞0且m≠3(B)m＜6且m≠3(C)m＜0(D)m＞67．完成某项工作，甲独做需a小时，乙独做需b小时，则两人合作完成这项工作的80％，所需要的时间是()．(A))(54ba小时(B))11(54ba小时(C))(54baab小时(D)baab小时8．a个人b天可做c个零件(设每人速度一样)，则b个人用同样速度做a个零件所需天数是()．(A)ca2(B)2ac(C)ac2(D)2ca二、填空题：9．x＝________时，两分式44x与13x的值相等．10．关于x的方程324bxa的解为________．11．当a＝________时，关于x的方程4532xaax的根是1．12．若方程114112xxx有增根，则增根是________．13．关于x的方程11xa的解是负数，则a的取值范围为________．14．一艘轮船在静水中的最大船速为20千米/时，它在江水中航行时，江水的流速为v千米/时，则它以最大航速顺流航行S千米所需的时间是________．二、解方程：15．.32121xxx16．1211422xxxxx17．xxxxx2531618.一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300支以上（不包括300支），可以按批发价付款，购买300支以下（包括300支），只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买一支，那么只能按零售价付款，需用120元，如果多购买60支，那么可以按批发价付款，同样需要120元。(1)这个八年级的学生总数在什么范围内？(2)若按批发价购买6支与按零售价购买5支的用款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？