2.4.1dinggao-平面向量数量积的物理背景及其含义

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义复习：数乘ba(1)||b||a||(2)0,;0,.abab当时同向当时反向复习：向量的夹角OθOθ0ababOab0Oab2Oab我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移sθFS力F所做的功W可用下式计算W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。1、向量的数量积的定义已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，我们把数量叫做与的数量积（或内积,点乘），即ab|||cos|abab||||cosabab规定：零向量与任意向量的数量积为0，即0．0a注:1、两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定2、a·b不能写成a×b，a×b表示向量的另一种运算．符号“·”在向量运算中不是乘号，不能省略.ab|||cos|abab思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？||||cosabab当0°≤θ＜90°时为正；ab当90°＜θ≤180°时为负。ab当θ=90°时为零。abOO||cos0bO||cos0b||cos0b2、向量数量积的几何意义,OAaOBb如图，过点B作垂直于直线OA，垂足为，则1B1cosOBb1BBabOAB1BθabOAB1BθabOAB1Bcos.bba定义：叫做向量在向量方向上的投影2、向量数量积的几何意义||||cosabba数量积等于与投影的乘积。||cosbab在上的投影：||cosaba在上的投影：注：3、向量数量积的性质ab设,都是非零向量,则1)0abab222,||||,||||ababababababaaaaa）当同向时；当反向时；特别的或3||||||abab）4||||ababab）cos=为，的夹角||||cosabab4、数量积运算律经验证，数量积满足如下运算律(1)abba（交换律）（数乘结合律）（分配律）(2)()()()ababab(3)()abcacbc4、数量积运算律说明：1abcabcabbc一般地原因：与夹角的余弦值不一定等于与夹角的余弦值20acbccabacbc一般情况下不能得到原因：与夹角的余弦值不一定等于与夹角的余弦值常用公式222(1)()2abaabb22(2)()()ababab应用举例110020=030=4=50,06=007aaBABAababababababa例、判断正误，并简要说明理由若则对任一非零向量有若，则，中至少有一个为对任意向量228bcabcabcabab，，都有若，是两个单位向量，则××××××√√221234,00567abcacbcababababababababababababbcacabc例、写出下列正确命题的序号：已知，，为非零不共线向量，则若=0,则∥若=0则或若⊥,则若,则-不与垂直⑶、⑸、⑺||5,||6,b120abaab与的夹角为，求||||cos120abab解：156()215例3、例题：在△ABC中，，求8,7,60abCBCCA解：ABC8760||8BC||7CA120120||||cos120BCCABCCA187()282练习(1)||2,||7,30abab，(2)||10,||15,45abab，(3)||8,||2,135abab，7375282练习：在△ABC中，，求4,9,30abCBCCA解：ABC4930||4BC||9CA150150||||cos150BCCABCCA349()1832课堂小结：1、向量的数量积的定义已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，我们把数量叫做与的数量（或内积,点乘），即abcosababcosabab规定：零向量与任意向量的数量积为0，即0．0a2、向量数量积的几何意义||||cosabba数量积等于与投影的乘积。课堂小结：3、向量数量积的性质ab设,都是非零向量,则1)0abab222,||||,||||ababababababaaaaa）当同向时；当反向时；特别的或3||||||abab）4||||ababab）cos=为，的夹角4、数量积运算律课堂小结：(1)abba（交换律）(2)()()()ababab（数乘结合律）(3)()abcacbc（分配律）作业A.小结B.P121A1（前两个），A21.a·b=|a||b|cosθ2.数量积几何意义3.重要性质