2019年版高考数学文科二轮专题复习课件：第二部分-坐标系与参数方程(选修4-4)(共36张PPT)

专题七选修4系列第1讲坐标系与参数方程(选修4－4)1．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝1＋tcosα，y＝2＋tsinα(t为参数)．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率．解：(1)曲线C的直角坐标方程为x24＋y216＝1.当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.又由①得t1＋t2＝4（2cosα＋sinα）1＋3cos2α，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.2．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．解：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.(2)由(1)知C2是圆心为A(－1，0)，半径为2的圆．由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2.所以|－k＋2|k2＋1＝2，解得k＝－43或k＝0.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－43时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2.所以|k＋2|k2＋1＝2，故k＝0或k＝43.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝43时，l2与C2没有公共点．综上，所求C1的方程为y＝－43|x|＋2.从近几年命题看：本讲命题内容以解答题的形式呈现，以极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的互化为主要内容，考查直线与圆锥曲线的位置关系，难度中等，分值10分．热点1曲线的极坐标方程1.直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx（x≠0）.2．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且与极轴所成的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：θ＝α和θ＝π＋α；(2)直线过点M(a，0)(a＞0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；(3)直线过Mb，π2且平行于极轴：ρsinθ＝b.3．圆的极坐标方程几个特殊位置的圆的极坐标方程．(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2)当圆心位于M(r，0)，半径为r：ρ＝2rcosθ；(3)当圆心位于Mr，π2，半径为r：ρ＝2rsinθ.【例1】(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.(1)点M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为2，π3，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝4cosθ.由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ(ρ＞0)．因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)．由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面积S＝12|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·sinα－π3＝2sin2α－π3－32≤2＋3.当α＝－π12时，S取得最大值2＋3.所以△OAB面积的最大值为2＋3.[规律方法]1．进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx(x≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧．2．由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．[变式训练](2018·江苏卷)在极坐标系中，直线l的方程为ρsinπ6－θ＝2，曲线C的方程为ρ＝4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．解：因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，所以曲线C是圆心为(2，0)，直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为ρsinπ6－θ＝2，则直线l过A(4，0)，倾斜角为π6，所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB＝π6.如图，连接OB.因为OA为直径，从而∠OBA＝π2，所以AB＝4cosπ6＝23.因此，直线l被曲线C截得的弦长为23.热点2参数方程及其应用1．直线的参数方程经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．设P是直线上的任一点，则t表示有向线段P0P→的数量．2．圆、椭圆的参数方程(1)圆心为点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为x＝x0＋rcosθ，y＝y0＋rsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)．(2)椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程为x＝acosθ，y＝bsinθ(θ为参数)．【例2】(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．解：(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.当α＝π2时，l与⊙O交于两点．当α≠π2时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－2.l与⊙O交于两点当且仅当21＋k21，解得k－1或k1，即α∈(π2，3π4)或α∈(π4，π2)．综上，α的取值范围是(π4，3π4)．(2)l的参数方程为x＝tcosα，y＝－2＋tsinα(t为参数，π4α3π4)．设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝tA＋tB2，且tA，tB满足t2－22tsinα＋1＝0.于是tA＋tB＝22sinα，tP＝2sinα.又点P的坐标(x，y)满足x＝tPcosα，y＝－2＋tPsinα，所以点P的轨迹的参数方程是x＝22sin2α，y＝－22－22cos2α(α为参数，π4α3π4)．[规律方法]1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．[变式训练](2018·潍坊质检)已知在极坐标系中，点A2，π6，B23，2π3，C是线段AB的中点，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线Ω的参数方程是x＝2cosθ，y＝－2＋2sinθ(θ为参数)．(1)求点C的直角坐标，并求曲线Ω的普通方程；(2)设直线l过点C交曲线Ω于P，Q两点，求CP→·CQ→的值．解：(1)将点A，B的极坐标化为直角坐标，得A(3，1)和B(－3，3)．所以点C的直角坐标为(0，2)．将x＝2cosθ，y＝－2＋2sinθ，消去θ，得x2＋(y＋2)2＝4.所以曲线Ω的普通方程为x2＋(y＋2)2＝4.(2)设直线l的参数方程为x＝tcosα，y＝2＋tsinα(t为参数，α为直线l的倾斜角)，代入x2＋(y＋2)2＝4，整理得t2＋8tsinα＋12＝0.设点P、Q对应的参数值分别为t1、t2，则t1t2＝12.CP→·CQ→＝|CP→||CQ→|＝|t1t2|＝12.热点3极坐标与参数方程的综合应用【例3】(2018·济南模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为x＝－1－t，y＝2＋t(t为参数)，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝21＋sin2θ，直线l与曲线C交于A，B两点．(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)已知点P的极坐标为22，π4，求|PA|·|PB|的值．解：(1)l的普通方程为x＋y－1＝0.又因为ρ2＋ρ2sin2θ＝2，所以x2＋y2＋y2＝2，即曲线C的直角坐标方程为x22＋y2＝1.(2)点P的直角坐标为12，12.由y＝1－x，x2＋2y2＝2，得3x2－4x＝0，所以x1＝0或x2＝43，令A(0，1)，则B43，－13.所以|PA|＝0－122＋1－122＝22，|PB|＝43－122＋－13－122＝526，|PA|·|PB|＝22·526＝56.[规律方法]1．涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．[变式训练]已知曲线C的参数方程为x＝2＋2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ＋π6＝4.(1)写出曲线C的极坐标方程和直线l的普通方程；(2)若射线θ＝π3与曲线C交于O，A两点，与直线l交于B点，射线θ＝11π6与曲线C交于O，P两点，求△PAB的面积．解：(1)由x＝2＋2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)，消去θ，得普通方程为(x－2)2＋y2＝4.从而曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ＝0，即ρ＝4cosθ.因为直线l的极坐标方程为ρsinθ＋π6＝4，即32ρsinθ＋12ρcosθ＝4，所以直线l的直角坐标方程为x＋3y－8＝0.(2)依题意，A，B两点的极坐标分别为A2，π3，B4，π3，联立射线θ＝11π6与曲线C的极坐标方程得P点极坐标为23，11π6，所以|AB|＝2，所以S△PAB＝12×2×23sin(π3＋π6)＝23.