三角函数的图像和性质教师讲义

1三角函数的图像和性质1.诱导公式（把角写成2k形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限）Ⅰ）xxkxxkxxktan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(Ⅱ）xxxxxxtan)tan(cos)cos(sin)sin(Ⅲ）xxxxxxtan)tan(cos)cos(sin)sin(Ⅳ）xxxxxxtan)tan(cos)cos(sin)sin(Ⅴ）sin)2cos(cos)2sin(Ⅵ）sin)2cos(cos)2sin(2、三角函数公式1、两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ2、倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α)cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα)3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：sinsincoscossinsin22sincos令2222222coscoscossinsincos2cossin2cos112sintantan1+cos2tancos1tantan21cos2sin22tantan21tan令　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　　　4、同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：222222sincos1,1tansec,1cotcsc（2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,（3）商数关系：sincostan,cotcossin3、三角函数的图像与性质21．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像“五点法”描图(1)y＝sinx的图像在[0,2π]上的五个关键点的坐标为：(0,0)，)1,2(，(π，0)，)1,23(，(2π，0)．(2)y＝cosx的图像在[0,2π]上的五个关键点的坐标为：(0,1)，)0,2(，(π，－1)，)0,23(，(2π，1)．2.周期函数定义：对于函数()fx，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，()()fxTfx都成立，那么就把函数()fx叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。（并非所有函数都有最小正周期）三角函数的图像和性质函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域RR{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}图像1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyxy=tanx322-32--2oyxy=cotx3222--2oyx3值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：x＝kπ＋π2(k∈Z)对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：(,0)2k无对称轴对称中心：Zkk)0,2(周期2π2ππ单调性单调增区间Zkkk]22,22[；单调减区间Zkkk]232,22[单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)单调增区间Zkkk)2,2(奇偶性奇偶奇4．由y＝sinx的图像变换出y＝sin(ωx＋)的图像一般有两个途径利用图像的变换作图像时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y＝sinx的图像向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图像上各点的横坐标变为原来的1倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图像。途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将y＝sinx的图像上各点的横坐标变为原来的1倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移||个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图像。3、形如sin()yAx的函数特点（1）几个物理量：A―振幅；1fT―频率（周期的倒数）；x—相位；―初相；（2）函数sin()yAx表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，如()sin()(0,0fxAxA，||)2的图象如图所示，则()fx＝_____（答：15()2sin()23fxx）；（3）函数sin()yAx图象的画法：①“五点法”――设Xx，令X＝0，3,,,222求出相应的x值，计算得出五新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆23题图29YX-2234点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。（4）函数sin()yAxk的图象与sinyx图象间的关系：①函数sinyx的图象纵坐标不变，横坐标向左（0）或向右（0）平移||个单位得sinyx的图象；②函数sinyx图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1，得到函数sinyx的图象；③函数sinyx图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数sin()yAx的图象；④函数sin()yAx图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k）或向下（0k），得到sinyAxk的图象。例：以sinyx变换到4sin(3)3yx为例sinyx向左平移3个单位（左加右减）sin3yx横坐标变为原来的13倍（纵坐标不变）sin33yx纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）4sin33yxsinyx横坐标变为原来的13倍（纵坐标不变）sin3yx向左平移9个单位（左加右减）sin39yxsin33x纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）4sin33yx分类解析一三角函数的周期【例1】►求下列函数的周期：(1)sin32yx；(2)tan36yx5二三角函数的定义域与值域【例2】►(1)求函数y＝lgsin2x＋9－x2的定义域．(2)求函数y＝cos2x＋sinx)4|(|x的最大值与最小值．(1)求函数y＝sinx－cosx的定义域；(2)tan()sin4lg(2cos1)xxyx(3)已知)(xf的定义域为]1,0[，求)(cosxf的定义域.三三角函数的单调性【例3】►求下列函数的单调递增区间．(1))23cos(xy，(2))324sin(21xy，(3))33tan(xy.【训练3】函数f(x)＝sin)32(x的单调减区间为______．四三角函数的对称性【例4】►(1)函数y＝cos)32(x图像的对称轴方程可能是()．A．x＝－π6B．x＝－π12C．x＝π6D．x＝π12(2)若0＜α＜π2，)42sin()(xxg是偶函数，则α的值为________．【训练4】(1)函数y＝2sin(3x＋φ))2|(|的一条对称轴为x＝π12，则φ＝________.(2)函数y＝cos(3x＋φ)的图像关于原点成中心对称图形．则φ＝________.五．综合题63.设函数，，，且以为最小正周期．（1）求；（2）求的解析式；（3）已知，求的值．1.已知函数的部分图像如图所示.（1）求函数的解析式；（2）令，判断函数的奇偶性，并说明理由.三【习题讲与练】1．函数图像的对称轴方程可能是（）A．B．C．D．2．将函数的图像按向量平移后所得的图像关于点中心对称，则向量的坐标可能为（）A．B．C．D．3．函数的图像向左平移个单位后，得到的图像，则的解析式为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．4．函数f(x)=cosx(xR)的图像按向量(m,0)平移后，得到函数y=-f(x)的图像，则m的值可以为（）A.B.C.－D.－3sin6fxx0＞,x20ffx94125fsin()sin()(0,0,||)2fxAxA()fx)67()(xfxg()gxsin(2)3yx6x12x6x12xsin(2)3yx(,0)12(,0)12(,0)6(,0)12(,0)6cos()yxxR2()ygx()gxsinxsinxcosxcosx2275.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω0)在区间[0，2π]的图像如右：那么ω=（）A.1B.2C.1/2D.1/36.将函数的图像F向右平移个单位长度得到图像F′，若F′的一条对称轴是直线则的一个可能取值是（）A.B.C.D.7.函数在区间(，)内的图像大致是（）ABCD8.为得到函数的图像，只需将函数的图像（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位9.把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（）A．B．sin()yx3,1x51251211121112tansintansinyxxxx223πcos3yxsinyxπ6π65π65π6sin()yxxR312sin23yxxR，sin26xyxR，8C．D．10．已知函数=Acos()的图像如图所示，，则=（）A.B.C.-D.11.函数sin(2)(0)yx是R上的偶函数，则的值是（）A.0B.4C.2D.12.若,24则（）A.tancossinB.sintancosC.costansinD.cossintan13.函数23cos()56yx的最小正周期是（）A.52B.25C.2D.514.在函数xysin、xysin、2sin(2)3yx、2cos(2)3yx中，最小正周期为的函数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个15.xxxf32cos32sin)(的图像中相邻的两条对称轴间距离为（）A．3πB．34C．23D．6716.函数)252sin(xy的一条对称轴方程（）A．2xB．4xC．8xD．x45二、填空题1.关于x的函数()cos()fxx有以下命题：①对任意，()fx都是非奇非偶函数；②不存在，使()fx既是奇函数，又是偶函数；③存在，使()fx是偶函数；④对任意，()fx都不是奇函数.sin23yxxR，sin23yxx