仿射几何在解析几何中的一些应用

1仿射几何在研究圆锥曲线中的一些应用仁化县仁化中学谢祖福摘要：本文主要结合实例，运用仿射几何的性质在解决圆锥曲线的问题作了一些尝试，以期达到对圆锥曲线问题的解法的化繁为简，化难为易，并且开阔数学视野，培养唯物辨证观点的目的。关键词：仿射几何仿射性质仿射变换圆锥曲线高等几何是从古典几何过渡到近世几何的桥梁，它对中学初等几何和解析几何的教学有重大的指导意义，其中仿射几何是高等几何的重要组成部分，是联结高等几何与初等几何的纽带，是应用高等几何解决初等几何的一条重要通道。在这里，笔者试图利用仿射几何的一些基本性质，在仿射变换下，通过特殊的图形去研究复杂的图形，从而解决一些高中解析几何中圆锥曲线一类的问题。我们知道，椭圆、双曲线、抛物线经过仿射变换，它们对应的图形分别是圆、特殊的双曲线即等轴双曲线x2－y2=±1和特殊的抛物线y2=2x。所以我们只要研究圆、双曲线x2－y2=±1和抛物线y2=2x的相应性质，利用其平行性、结合性、简比、面积比等仿射性质，其对应的椭圆、双曲线、抛物线的性质就相应知道了，从而能取得事半功倍的效果。一、利用仿射性质解决一些圆锥曲线的最值问题。例：求椭圆12222byax的内接三角形面积的最大值。解：如图，设此椭圆可以由一圆经过仿射变换T后得到的。A'C'B'O'变换TABCO设圆的半径为r，椭圆的长、短半轴分别为a、b，则椭圆的面积为πab，且圆2内接三角形面积最大的为圆内接正三角形，面积为433r2。根据仿射变换的性质椭圆圆SSABCCBASS‘’‘=常量即abr2=ABCSr2433，则ABCS=433ab为所求的最大值。同理，此结论可以推广到求椭圆的内接矩形的最大值。例：求证椭圆的最大内接矩形的面积为2ab。（此题留给读者自己证明）二、利用仿射几何的基本性质证明一些定值问题。例：C为双曲线12222byax的实轴AB所在直线上的一定点，直线CT∥OY轴，P是双曲线上不同于A、B任一点，直线AP、BP与CT分别交于M、N两点，求证CM·CN为定值。证明：由仿射性质可知，此题只要对等轴双曲线x2－y2=1进行证明即可。如图，等轴双曲线x2－y2=1中，设P（secθ，tanθ），A（-1，0）xyTMAOCPNBO3直线PA的方程：y=sec1tan(x+1)直线CT的方程：x=d由①、②得：y=sec1tan(d+1)故CM=sec1tan(d+1)同理：CN=1sectan(d-1)所以CM·CN=1sectan22(d2-12)=d2-1(定值)由仿射性质，可知对于一般双曲线有CM·CN=定值再如：若C为抛物线y2=2px(p＞0)的对称轴所在直线上的一定点，直线CT∥OY轴，P为抛物线上不同于顶点O的任意一点，直线OP与CT交于M点，直线PN∥Ox轴与CT交于N点。试证CM·CN为一定值。（图如下）OPTCNMyx本题证明由读者自行完成。4三、利用仿射几何的基本性质证明一些平行问题。例：已知A、B分别为椭圆12222byax在横轴、纵轴上的顶点，C为线段AB的中点，求证过直线OC与椭圆的交点的切线平行于AB。B'D'C'O'E'A'l'l'12BDCOEAll12变换T证明：如图，设此椭圆可以由一圆经过仿射变换T后得到，显然，在圆O′中，O′C′⊥A′B′，O′D′⊥L1′,O′E′⊥L2′所以A′B′∥L1′∥L2′因为平行性为仿射不变性，故AB∥L1∥L2即过直线OC与椭圆的交点的切线平行于AB。四、利用仿射的性质求一些轨迹的问题。例：椭圆12222byax的内接△ABC，它的边BC与长轴重合，A在椭圆上运动，求△ABC的重心的轨迹。解：设此椭圆可以由一圆经仿射变换T后得到，5B'A'C'P'O'APCOB变换T显然，在圆中，满足此条件的点的轨迹是以O′为圆心，以31O′A′为半径所画的圆。因此，在椭圆中是以O为中心，其长、短半轴分别为原椭圆长、短半轴的31的椭圆。参考文献：《仿射几何及其在初等几何中的应用》李冠堂李厚荣梁康健编著辽宁教育出版社《圆锥曲线》王儒钲编著山东教育出版社《高中数学复数与平面解析几何》马顺业王剑主编金盾出版社