自动控制原理例题详解-基于频率法的串联分析法校正3个例题详细步骤

※基于频率法的串联分析法校正二、基于频率法的串联超前校正例1：设某控制系统不可变部分的开环传递函数为：0()(0.0011)(0.11)KGssss=++要求：1．响应()rtRt=的稳态误差不大于0.001(RR为常数）2．截至频率1165csω−≥3．相角裕度o45≥γ4．幅值裕度20lg15hdB≥试设计超前校正装置。解：1）低频段：响应()rtRt=的稳态误差是一个常数，可以判断校正后系统是几型？1ν=。可见原来待校正系统的型别已经满足由0.001ssvvRReRKK==≤，则1000vKK=≥。这里取1000vKK==满足要求2）求0cω，并判断用超前校正。（【注】如果题目已经要求用超前校正装置，则跳过此步骤）。-----------------------------------------------------求0cω-----------------------------------------------a)定义法：0022000000|()|||1(0.0011)(0.11)(0.001)1(0.1)1cccccccKKGjjjjωωωωωωω===++++可见比较复杂，怎么办？b)斜率法（【注】推荐此法）：只要知道了0cω所在斜线上的任何一点（除0cω那点外）坐标，根据斜率，就可以求出0cω。这一点如何取？只要在系统剪切频率0cω所在的中频带中任意找到一个横坐标1ω（前提知道这点在这条斜线上），代入原系统方程中，总可以求出01()Lω。虽然系统复杂了，求01()Lω也和复杂，但是这是正向计算，代数计算比解方程容易的多。求出横坐标1ω对应的01()Lω，利用如下公式：()()0101lglgccLLk=ωωωω−−即可求得0cω。具体采用画图法近似或者如下所示。0dB37dB()()LdBω11001020/dBdec−40/dBdec−60/dBdec−0.11000ω例如，取10ω=，代入0()Gjω，则0221000|(10)|110(0.00110)1(0.110)1Gj==×+×+，所以，0(10)37LdB=1370-40lg10lgc=ω−−，所以，084.14cω=。因此,0ccωω，判断采用超前校正。3）取1165csω−=，代入0()Gjω求0()cGjω∠，00()900.0010.1186cccGjarctgarctgωωω∠=−−−=−则00()180()6ccGjγωω=°+∠=−°则最大超前角0()(5~10)51556mcϕγγω=−+°°=°+°=°（取5+°）。【注】设计中60mϕ≤o，当需要增加的相角大于60o时，可采用多级超前校正。4）取mcωω=，则此时最大超前相角mϕ出现在cω处。则1sin1sinmmϕαϕ+=−，可求10.7α≈。根据α求出参数10.0019mTαω==。从而求得10.01981()10.00191cTssGsTssα++==++（对应的251ω=，3540ω=）。5）高频段：待校正系统高频段就是-60dB/dec，因此满足抗干扰的要求。所以校正后系统仍然沿用待校正系统高频段，不增加多余装置。（【注】：此不可略）由此可见，加()cGs主要加在中频区。6）验算()Gs的指标：（【注】：验算是评价设计指标的重要依据，是必须的，而且必须是校正后的系统的全部指标）01000(0.01981)()()()(0.11)(0.00191)(0.0011)csGsGsGsssss+==+++可见，110ω=，252ω=，3520ω=，41000ω=---校正在中频带。验算：1)：1000vKK==，则/0.001ssveRKR=≤满足2)：1165csω−=满足3）代入()Gjω，求γ。01000(0.01921)()()()(0.11)(0.001921)(0.0011)cccccccjGjGsGsjjjjωωωωωω+==+++00001800.0192900.10.001920.001180131ccccarctgarctgarctgarctgγωωωω=+−−−−=−（0()131cGjω∠=−），因此004945γ=，满足要求。4)：20lg15hdB≥，应该根据()Gjω先求0()()180xxGjωϕω∠==−，求出对应的680xω=，则11|()|0.142xhGjω==，所以1120lg20lg20lg16.915|()|0.142xhGjω===dB。结论：设计的超前校正装置10.01981()10.00191cTssGsTssα++==++（【注】：一定要有结论）。三、基于频率法的串联滞后校正例2已知单位负反馈系统的开环传递函数0()(0.11)(0.21)KGssss=++。试设计串联校正装置，使得设计指标：1）1ν=2）125vKs−=3）o40≥γ4）2.5/cradsω=——（具体单位给你什么就标什么，一般不涉及换算）。解：1．根据1ν=满足要求。要求125vKs−=，则直接取125vKKs−==。2。（【注】如果题目已经要求用滞后校正装置，则跳过此步骤）。1）求0cω：0()(0.11)(0.21)KGsjjjωωω=++，因此，转折频率110ω=，25ω=，按照例1由斜率法画图可知，08.9cω=。因为02.5ccωω=，原系统截止频率远大于要求值，采用串联超前校正是无效的。因此必须采用滞后校正。2）把2.5cω=代入0()cGjω∠，00000()180()90arctg(0.1)arctg(0.2)49.440ccccGjγωωωω=+∠=°−−=，动态性能满足。综上，只需要用滞后校正。3.求α：根据01|()|cGjαω=或者0120lg|()|20lgcGjωα=，则0118.820lg|()|20lgcGjωα==，则0.11α=；求T：因为111()510cTωα≈−，这里取110，则10.10.25cTωα==，所以36T≈。4.验算41()361csGss+=+，则25(41)()(361)(0.11)(0.21)sGsssss+=+++。1)1ν=满足2）125vKs−=满足3）2.5/cradsω=,满足4)（具体把2.5/cradsω=，代入校正后的系统中）0000180()90arctg(4)arctg(36)arctg(0.1)arctg(0.2)44.340cccccGjγωωωωω=+∠=+−−−=结论：以参数0.11α=，36T=确定的滞后校正装置符合设计要求。四、基于频率法的串联滞后—超前校正例3已知待校正系统的开环传递函数0()(0.21)(0.021)KGssss=++，试设计串联校正环节，满足下列指标：1）静态速度误差系数为1250vKs−≥2）剪切频率15(/)cradsω≥3）相角裕度045γ≥解：1。——原系统是I型系统，满足型的要求，取1250vKs−=。2．（【注】如果题目已经要求用滞后-超前校正装置，则跳过此步骤）。1）求0cω：按照例1由斜率法画图，可知030cω≈。因为0ccωω，因此需要串联滞后校正；2）又因为当15cω=时，00()178cGjω∠=−，因此00()2cjγωγ=，因此还需要串联超前校正。综上，因此滞后超前校正。3．确定超前校正装置参数：0000000()(510)452750mcjϕγγω=−+−=−+=则111sin7.55(1)1sinmmϕααϕ+==−；取15mcωω==，则1110.0243mTαω==则超前校正为11110.1831()10.02431ccTssGsTssα++==++此时，超前校正后的原系统为：'0250(0.1831)()()()(0.21)(0.021)(0.02431)ccsGsGsGsssss+==+++4．确定滞后校正装置参数：在'()Gs基础上确立滞后参数。也就是把在要求的cω处的幅值通过滞后来往下拉，使得最终过cω幅值=0，即'20lg|()|0cGjω=。因此，2'222250(0.18315)1)|()|13.8615(0.215)1)(0.0215)1)(0.024315)1)cGjω×+==×+×+×+。则22'10.072(1)|()|cGjααω==取22111()2(0.1333510cTωα≈−=取），则220.5Tα=，所以27T≈。所以滞后校正装置为22210.51()171czTssGsTssα++==++则滞后-超前校正后系统为：0250(0.1831)(0.51)()()()()(0.21)(0.021)(0.02431)(71)ccczssGsGsGsGssssss++==++++5．验证：1）1250vKs−=满足。2）设计过程中15cω=满足。3）γ，则0180()cGjγω=+∠=900.1830.5ccarctgarctgωω+×+×0.20.020.243744.845ccccarctgarctgarctgarctgωωωω−×−×−×−×=，不符合要求。重新选择。【分析原因：因为超前中已经加了7度，不用重选。只需要修改滞后（一般都是修改之后，因为超前动态性能已经满足了）分析：滞后环节中0.51()71czsGss+=+，分子提供的相角00.51582.4arctg×=，分母提供的相角071589.45arctg×=，上下角度差7，实际上我们说滞后一般都小于5度。因此，动态性能不满足要求了。把它改小就好。如何改小？我们知道，滞后校正是利用校正装置的高频段把cω给拉下来的，而且要求滞后角度小于5度，实际上，22111()510cTωα≈−，如果221Tα越远离cω，则滞后角度越小，因此只需往小修改22111()(0.1510cTωα≈−取）】具体：往小修改22111()1.5(0.1510cTωα≈−=取），则220.67Tα=，则29.3T=因此，0.671()9.31czsGss+=+则滞后-超前校正后系统为：0250(0.1831)(0.671)()()()()(0.21)(0.021)(0.02431)(9.31)ccczssGsGsGsGssssss++==++++※【注】：一般的选择滞后超前校正我们要选择221110cTωα≈。重新验证：1．1250vKs−=满足。2.15cω=满足。3．γ则0180()cGjγω=+∠=900.1830.67ccarctgarctgωω+×+×0.20.020.2439.346.4245ccccarctgarctgarctgarctgωωωω−×−×−×−×=，符合要求。结论：采用的超前装置为0.1831()0.02431ccsGss+=+：滞后装置为0.671()9.31czsGss+=+。　基于频率法的串联校正小结：如果0ccωω，则需要采用串联超前校正；如果0ccωω，且0()cjγωγ，说明未校正系统在动态性能方面满足给定性能指标，串联滞后校正；如果0ccωω，且0()cjγωγ,则说明未校正系统在动态性能方面不满足给定性能指标）。因此需要采用串联滞后-超前校正。※【注】：1）设计的校正方法可以与上课不同，选择的校正装置也可以不同，但是上课的方法是最易理解和简单的。※【注】：2）校正设计没有标准答案，只有正确答案，检验的标准就是全部指标满足※【注】：3）所有校正都要验证。