§12.3-一般项级数--数学分析课件(华师大-四版)-高教社ppt-华东师大教材配套课件

由于非正项级数(一般项级数)的收敛性问题要比正项级数复杂得多,所以本节只对某些特殊类型级数的收敛性问题进行讨论.§12.3一般项级数数学分析第十二章数项级数三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法一、交错级数二、绝对收敛级数及其性质*点击以上标题可直接前往对应内容数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法定理12.11（莱布尼茨判别法）交错级数11234(1)(1)nnuuuuu(0,1,2,),nun若级数的各项符号正负相间,即则称为交错级数.若交错级数(1)满足:(i){};nu数列单调递减(ii)lim0,nnu则级数(1)收敛.后退前进目录退出交错级数数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法证考察交错级数(1)的部分和数列{Sn},和偶数项分别为211232221()(),mmmSuuuuu21234212()()().mmmSuuuuuu由条件(i),上述两式中各个括号内的数都是非负的,(ii)又由条件知道从而{[S2m,S2m-1]}是一个区间套.212200(),mmmSSum在惟一的实数S,使得它的奇数项是递减的，从而数列12mS.2是递增的而数列mS由区间套定理,存交错级数数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法推论212limlim.mmmmSSS{},(1).nS所以数列收敛即级数收敛若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件,则收敛级数(1)的余项估计式为1.nnRu对于下列交错级数,应用莱布尼茨判别法,容易检验它们都是收敛的:交错级数数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法111111(1);(3)3!5!7!(21)!nn12341234(1).(4)1010101010nnn11111(1);(2)231nn交错级数数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法定理12.1212(5)nuuu12(6)nuuu收敛,各项绝对值组成的级数绝对收敛的级数是收敛的.绝对收敛级数及其性质若级数则称原级数(5)为绝对收敛级数.绝对收敛级数及其性质数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法由于12mmmruuu因此由柯西准则知级数(5)也收敛.12mmmruuu对于级数(5)是否绝对收敛,可引用正项级数的各种判别法对级数(6)进行考察.整数r,有12mmmruuu证由于级数(6)收敛,根据级数的柯西收敛准则,对,于任意正数N总存在正数，nN使得对和任意正绝对收敛级数及其性质数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法2.!2!!nnnn1limlim0,1nnnnuun的各项绝对值所组成的级数是因此,所考察的级数对任何实数都绝对收敛.例1级数21!2!!nnnnn,应用比式判别法,对于任意实数都有绝对收敛级数及其性质数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法全体收敛的级数可分为绝对收敛级数与条件收敛级数两大类.若级数(5)收敛,但级数(6)不收敛,则称级数(5)为条件收敛.12(5)nuuu12(6)nuuu1111nnn条件收敛，例如级数21111110,nnnnnnn而.均绝对收敛绝对收敛级数及其性质数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法相应地称级数()1knnu为级数(5)的重12,(7)nvvv作:()fnkn称为正整数列的重排,()(){}:{}nnknknuFuuu按映射所得到的数列称为我们把正整数列{1,2,…,n,…}到它自身的一一映射1.级数的重排下面讨论绝对收敛级数的两个重要性质.相应地对于数列原数列的重排..排,nknvu为叙述上的方便,记写即把级数1nnku绝对收敛级数及其性质数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法定理12.13第一步设级数(5)是正项级数,部分和.12mmvvv表示级数(7)的第m个部分和.(1)kvkmkiu的重排,所以每一应等于某一(1).km记12max{,,},mniii*证只要对正项级数证明了定理的结论,对绝对收敛级数就容易证明定理是成立的.所得到的级数(7)绝对收敛且和也为S.设级数(5)绝对收敛,且其和等于S,则任意重排后用Sn表示它的第n个用因为级数(7)为级数(5)绝对收敛级数及其性质数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法即级数(7)收敛,且其和.S由于级数(5)也可看作级数(7)的重排,所以也有SS,从而得到.这就证明了对正项级数定理成立.第二步证明(7)绝对收敛.且绝对收敛,nv收敛,则对于任何,m.nmSn，使都存在,limSSnn由于,,mmS所以对任何正整数都有设级数(5)是一般项级数则由级数(6)收敛第一步结论,可得即级数(7)是绝对收敛的.绝对收敛级数及其性质数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法0,0,0;nnnnupuq当时0,0,0.nnnnnupquu当时从而要把一般项级数(5)分解成正项级数的和.第三步证明绝对收敛级数(7)的和也等于S.一步的证明,收敛的正项级数重排后和不变,根据第所以先为此令,2nnnuup)8(.2nnnuuq,0nnup)9(,0nnuq,nnnuqp)10(.nnnuqp绝对收敛级数及其性质数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法.nnnSupq对于级数(5)重排后所得到的级数(7),,nnnvpq,,nnnnpqpq显然分别是正项级数的重排,办法,把它表示为两个收敛的正项级数之差其和不变,从而有.nnnnnvpqpqS,nnpq知都是收敛的正项级数.因此由级数(5)绝对收敛,及(9)式,也可按(8)式的绝对收敛级数及其性质数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法注定理12.13只对绝对收敛级数成立.数重排后得到的新级数不一定收敛,不一定收敛于原来的和.适当重排后,既可以得到发散级数,设其和为A,即111111111(1)1.2345678nAn1,2乘以常数后有例如级数1111nnn条件收敛,条件收敛级即使收敛,也更进一步,条件收敛级数也可以收敛于任何事先指定的数.绝对收敛级数及其性质数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法1111111(1).224682nAn1111131.325742A将上述两个级数相加,得到的是(2)的重排:我们也可以重排(2)使其发散(可参考数学分析学习指导书下册).2.级数的乘积,nnauaunu由定理12.2知道,若为收敛级数,a为常数,则绝对收敛级数及其性质数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法由此可以立刻推广到收敛级数1nnu与有限项和的乘积,即12111(),mmnknnnkaaauau那么无穷级数之间的乘积是否也有上述性质?12,(11)nnuuuuA12.(12)nnvvvvB将级数(11)与(12)中每一项所有可能的乘积列成下设有收敛级数表:绝对收敛级数及其性质数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法111213121222323132333123(13)nnnnnnnnuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvijuv这些乘积可以按各种方法排成不同的级数,用的有按正方形顺序或按对角线顺序.依次相加后,有1112222113uvuvuvuvuv23333231(14)uvuvuvuv常绝对收敛级数及其性质数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法111213121222323132333123nnnnnnnnuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuv正方形顺序绝对收敛级数及其性质数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法111221132231.(15)uvuvuvuvuvuv111213212223313233uvuvuvuvuvuvuvuvuv对角线顺序绝对收敛级数及其性质数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法定理12.14（柯西定理）ijuv则对(13)中且其和等于AB.*证,nnSw以表示级数的部分和即(1,2,,),kkkijwuvkn其中记12,nnS1122max{,,,,,,},nnmijijij12,mmAuuu12,mmBvvv都绝对收敛，若级数nnvu,绝对收敛级数及其性质nw按任意顺序排列所得到的级数也绝对收敛,数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法.(16)nmmSAB则必有nv与{}{}nnAB和的部分和数列都是有界的.因而nu{}nSnw于是由不等式(16)知是有界的,从而级数nw.SAB下面证明的和由于绝对收敛级数具有可重排的性质,与采用哪一种排列的次序无关,顺序并对各被加项取括号,即由定理条件,级数(11)与(12)都绝对收敛,绝对收敛.即级数的和为此,采用正方形绝对收敛级数及其性质数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法123,(17)npppp将每一括号作为一项,得到新级数11122221()uvuvuvuv1323333231(),uvuvuvuvuvnw它与级数同收敛,且和相同..nnnPABnP与nnAB与则有关系式:从而nP表示(17)的用部分和,nnnnnBAPSlimlimnnnnBAlimlim.AB绝对收敛级数及其性质数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法211,11nrrrrr例2等比级数2()nr将按(15)的顺序排列,则得到2222111()()(),(