§4 41 平均数、中位数、众数、极差、方差 42 标准差

§4数据的数字特征4.1平均数、中位数、众数、极差、方差4.2标准差1.根据实际问题的需求，能够从数据中提取基本的数字特征，如平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差等.2.通过实例理解数据标准差的意义和作用.3.学会根据不同要求选择不同的统计量来表达数据的信息.数据的信息除了通过前面介绍的用各种统计图表来加以整理和表达之外，还可以通过一些统计量来表述，也就是将多个数据“加工”为一个数值，使这个数值能够反映这组数据的某些重要的整体特征.小明开设了一个生产玩具的小工厂，管理人员由小明、他的弟弟和六个亲戚组成，工作人员由五个领工和十个工人组成.工厂经营的很顺利，需增加一个新工人，小亮需要一份工作，应征而来与小明交谈.小明说：“我们这里报酬不错，平均薪金是每周300元.你在学徒期每周75元，不过很快就可以加工资了.”小亮工作几天后找到小明说：“你欺骗了我，我已经找其他工人核对过了，没有一个人的工资超过每周100元，平均工资怎么可能是一周300元呢？”小明说：“小亮啊，不要激动，平均工资是300元，你看，这是一张工资表.”人员小明小明弟亲戚领工工人周工资24001000250200100人数116510合计24001000150010001000工资表如下:这到底是怎么了？1.什么叫平均数？有什么意义？2.什么叫中位数？有什么意义？3.什么叫众数？有什么意义？4.什么叫极差？有什么意义？5.什么叫方差？有什么意义？6.什么叫标准差？有什么意义？1.一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数.数据12,,,nxxx的平均数为12nxxxxn.平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平.2.一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数.一组数据的中位数是唯一的，反映了数据的集中趋势.3.一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数.一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有，反映了数据的集中趋势.平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差5.方差是样本数据到平均数的平均距离，一般用2s表示，通常用公式2222121[()()()]nsxxxxxxn来计算.反映了数据的离散程度.方差越大，数据的离散程度越大,方差越小数据的离散程度越小.6.标准差等于方差的正的平方根，即2ss，与方差的作用相同，描述一组数据围绕平均数的波动程度的大小.4.一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差，表示该组数据之间的差异情况.例1某公司员工的月工资情况如下表所示：月工资/元80005000400020001000800700600500员工/人12461282052(1)分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数和众数.(2)公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工的月工资情况？税务官呢？工会领导呢？解：（1）该公司员工的月工资平均数为即该公司员工月工资的平均数为1373元.8000150002400042000610001280087002060055002124612820521373(2)公司经理为了显示本公司员工的收入高，采用平均数1373作为月工资的代表；而税务官希望取中位数800，以便知道目前的所得税率对该公司的多数员工是否有利；工会领导则主张用众数700，因为每月拿700元的员工最多.中位数为800元，众数为700元.例2在上一节中，从甲、乙两个城市随机抽取的16台自动售货机的销售额可以用茎叶图表示，如图所示：（1）甲、乙两组数据的中位数、众数、极差分别是多少？（2）你能从图中分别比较甲、乙两组数据的平均数和方差的大小吗？解：(1)观察茎叶图，我们不难看出：甲城市销售额的中位数为20,众数为10,18,30,极差为53;乙城市销售额的中位数为29,众数为23,34，极差为38.（2）从茎叶图中我们不难看出：甲城市销售额分布主要在茎叶图的上方且相对较散，而乙城市的销售额分布则相对集中在茎叶图的中部.由此，我们可以估计：甲城市销售额的平均数比乙城市的小，而方差比乙城市的大.平均数是将所有的数据都考虑进去得到的量，它是反映数据平均水平最常用的统计量；中位数将观测数据分成相同数目的两部分，其中一部分都比这个数小而另一部分都比这个数大，对于非对称的数据集，中位数更实际地描述了数据的中心；当变量是分类变量时，众数经常被使用.例3甲、乙两台机床同时生产直径是40mm的零件.为了检验产品质量，从两台机床生产的产品中各抽取10件进行测量，结果如下表所示甲40.039.840.140.239.940.040.239.840.239.8乙40.040.039.940.039.940.140.140.140.039.9分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的10件产品直径的标准差.，并判断哪一个机床更稳定.解：从数据容易得到甲、乙两台机床生产的这10件产品直径的平均值:我们分别计算它们直径的标准差：/mm/mmx40(mm)甲x40(mm)乙222s[(4040)(39.840)(39.840)]/100.161(mm)甲222s[(4040)(4040)(39.940)]/100.077(mm)乙由上面的计算可以看出：甲、乙两台机床生产的产品直径的平均值相同，而甲机床生产的产品直径的标准差为0.161mm，比乙机床的标准差0.077mm大，说明乙机床生产的零件更标准些，即乙机床的生产过程更稳定一些.对数据数字特征内容的评价，应当更多地关注对其本身意义的理解和在新情境中的应用，而不是记忆和使用的熟练程度.1.下表是某班40名学生参加“环保知识竞赛”的得分统计表：分数012345人数4710x8y请参照这个表解答下列问题：用含x，y的式子表示该班参加“环保知识竞赛”的班平均分f；若该班这次竞赛的平均分为2.5分，求x、y的值.,xy解：（1）355940xyf；(2)依题意，有354111{xyxy解得74{xy2.某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是__________答案：-3解：（1）2x30(cm)甲，2x31(cm)乙xx甲乙，即乙种玉米的苗长得高.（2）222222s104.2(cm),s128.8(cm)ss甲乙甲乙,即甲种玉米的苗长得齐.3.甲、乙两种玉米苗各抽10株，分别测得它们的株高如下（单位：cm）甲25414037221419392142乙27164427441640401640问：（1）哪种玉米的苗长得高？（2）哪种玉米的苗长得齐？1.根据实际问题的需求，能够从数据中提取基本的数字特征，如平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差等.2.理解数据标准差的意义和作用.学会根据不同要求选择不同的统计量来表达数据的信息.即使一次次的跌倒，我们依然成长.跌倒只是我们成长道路上的一个小小的插曲.