第69讲随机抽样、用样本估计总体、正态分布

学海导航理数1第69讲随机抽样、用样本估计总体、正态分布学海导航理数2学海导航理数31．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是和.学海导航理数4解析：由茎叶图可知，这组数据从小到大排列是87,89,90,91,92,93,94,96，所以中位数是91＋922＝91.5，平均数是18(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96)＝91.5.学海导航理数52．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s2＝.学海导航理数6解析：因为x－＝15(10＋6＋8＋5＋6)＝7，所以s2＝15[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝3.2.学海导航理数73．对某校400名学生的体重(单位：kg)进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则学生体重在60kg以上的人数为()A．300B．100C．60D．20B学海导航理数8解析：体重在60kg以上的频率为(0.040＋0.010)×5＝0.25，所以体重在60kg以上的学生人数为0.25×400＝100，故选B.学海导航理数94．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为.学海导航理数10解析：抽取男运动员的人数为2148＋36×48＝12.学海导航理数115．在对我市普通高中学生某项身体素质的测试中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ0)，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.8，则ξ在(0,1)内取值的概率为()A．0.2B．0.4C．0.6D．0.3B学海导航理数12解析：因为正态分布曲线关于μ＝1对称，所以ξ在(0,1)与(1,2)内的概率相等，即为0.4，故选B.学海导航理数13学海导航理数14一用样本估计总体【例1】在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n(n＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：(1)求第6位同学的成绩x6，以及这6位同学成绩的标准差s；(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．学海导航理数15解析：(1)因为这6位同学的平均成绩为75分，所以16(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，所以x6＝90，即第6位同学的数学成绩为90分．这6位同学成绩的方差为s2＝16×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，所以标准差s＝7.学海导航理数16(2)从前5位同学中随机选取2位同学，共有C25＝10种结果，恰有一位同学的成绩在(68,75)中有(x1，x2)，(x2，x4)，(x3，x2)，(x5，x2)共4种结果，故所求概率为P＝410＝0.4.学海导航理数17【拓展演练1】现从甲、乙两种树苗中随机各抽测了10株树苗的高度，量出它们的高度(单位：cm)的茎叶图如下图．(1)根据茎叶图，对甲、乙两种品种的树苗的高度作比较，写出两个统计结论；学海导航理数18(2)设抽测的10株甲种树苗高度的平均值为x－，将这10株树苗的高度依次输入如下程序框图进行运算，问输出的S的大小为多少？并说明S的统计意义．学海导航理数19解析：(1)由茎叶图可知乙的平均高度比甲的大，但甲的稳定性(方差)比乙的小．(2)由题设，x－＝110(10＋5×20＋3×40＋9＋9＋5＋3＋1＋0＋7＋3＋2＋1)＝27，S＝110[(27－19)2＋(27－20)2＋(27－21)2＋(27－23)2＋(27－25)2＋(27－29)2＋(27－31)2＋(27－32)2＋(27－33)2＋(27－37)2]＝35，S为甲种树苗的方差，表示其整齐状态．学海导航理数20二茎叶图及应用【例2】(2013·丰台二模)某地区农科所为了选择更适应本地区种植的棉花品种，在该地区选择了5块土地，每块土地平均分成面积相等的两部分，分别种植甲、乙两个品种的棉花，收获时测得棉花的亩产量如图所示：学海导航理数21(1)请问甲、乙两种棉花哪种亩产量更稳定，并说明理由；(2)求从种植甲种棉花的5块土地中任选2块土地，这两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量的概率．学海导航理数22解析：(1)由茎叶图可知甲种棉花的平均亩产量为：95＋102＋105＋107＋1115＝104，方差为：s2甲＝15[(95－104)2＋(102－104)2＋(105－104)2＋(107－104)2＋(111－104)2]＝28.8，乙种棉花的平均亩产量为：98＋103＋104＋105＋1105＝104，学海导航理数23方差为：s2乙＝15[(98－104)2＋(103－104)2＋(104－104)2＋(105－104)2＋(110－104)2]＝14.8，因为s2甲s2乙，所以乙种棉花的平均亩产量更稳定．学海导航理数24(2)从种植甲种棉花的5块土地中任选2块土地的所有选法有(95,102)，(95,105)，(95,107)，(95,111)，(102,105)，(102,107)，(102,111)，(105,107)，(105,111)，(107,111)共10种，设“亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量”为事件A，包括的基本事件为(105,107)，(105,111)，(107,111)共3种，所以P(A)＝310.答：两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量的概率为310.学海导航理数25【拓展演练2】随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据如下：甲班：182,158,162,170,179,163,168,179,171,168乙班：159,168,162,170,173,165,181,176,178,179(1)根据甲、乙两班身高的数据画出对应的茎叶图，并依据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．学海导航理数26解析：(1)茎叶图如下：由茎叶图可知：甲班同学的身高集中于160cm～179cm之间，而乙班同学的身高集中于170cm～180cm之间，因此，乙班同学的平均身高高于甲班．学海导航理数27(2)x－＝158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋18210＝170(cm)．甲班的样本方差为110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.学海导航理数28(3)设身高为176cm的同学被抽中的事件为A.从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173cm的同学有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)，共10个基本事件．而事件A含有4个基本事件，所以P(A)＝410＝25.学海导航理数29【例3】(2012·广东省东莞市模拟)某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下表所示.三直方图及应用学海导航理数30(1)请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在下图中完成频率分布直方图；学海导航理数31(2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？(3)在(2)的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．学海导航理数32解析：(1)由题可知，第2组的频数为0.35×100＝35，第3组的频率为30100＝0.300.频率分布直方图如下：学海导航理数33(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽取的学生分别为：第3组：3060×6＝3人，第4组：2060×6＝2人，第5组：1060×6＝1人，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．学海导航理数34(3)设第3组的3名学生为A1、A2、A3，第4组的2名学生为B1、B2，第5组的1名学生为C1，则从6名学生中抽取2名学生有15种可能情况，如下：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)．学海导航理数35其中第4组的2名学生B1、B2至少有1名学生被抽到接受A考官进行面试的情况有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共9种．所以第4组至少有1名学生被抽到接受A考官进行面试的概率为915＝35.学海导航理数36【拓展演练3】在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量)共有100个数据，数据分组如下表：学海导航理数37(1)完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；学海导航理数38学海导航理数39(2)估计纤度落在[1.38,1.50)中的概率及纤度小于1.40的概率是多少？(3)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[1.30,1.34)的中点值是1.32)作为代表．据此，估计纤度的期望．学海导航理数40解析：(1)频率分布表为：学海导航理数41学海导航理数42(2)纤度落在[1.38,1.50)中的概率约为0.30＋0.29＋0.10＝0.69，纤度小于1.40的概率约为0.04＋0.25＋12×0.30＝0.44.(3)总体数据的期望约为1.32×0.04＋1.36×0.25＋1.40×0.30＋1.44×0.29＋1.48×0.10＋1.52×0.02＝1.4088.学海导航理数43学海导航理数441.(2013·湖南卷)某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是()A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法D学海导航理数452.(2012·安徽卷)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()学海导航理数462.(2012·安徽卷)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差C学海导航理数47解析：x－甲＝15(4＋5＋6＋7＋8)＝6，x－乙＝15(5×3＋6＋9)＝6，甲的成绩的方差为15(22×2＋12×2)＝2，乙的成绩的方差为15(12×3＋32×1)＝2.4，故选C.学海导航理数483.(2012·陕西卷)从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)，设甲乙两组数据的平均数分别为x－甲，x－乙，中位数分别为m甲，m乙，则()A.x－甲＜x－乙，m甲＞m乙B.x－甲＜x－乙，m甲＜m乙C.x－甲＞x－乙，m甲＞m乙D.x－甲＞x－乙，m甲＜m乙B学海导航理数49解析：根据平均数的概念易计算出x－甲x－乙，又m甲＝18＋222＝20，m乙＝27＋312＝29，故选B.学海导航理数504.(2013·重庆卷)以下