第6章 样本及中心极限定理63 抽样分布

第三节抽样分布一、基本概念二、常见分布三、小结一、基本概念1.统计量的定义,不含未知参数.的观察值,,,,21的一个样本是来自总体设XXXXn,,,,),,,(2121的函数是nnXXXXXXg.计量中若g是一个统则称),,,(21nXXXgnnXXXxxx,,,,,,2121是相应于样本设,的样本值),,,(),,,(2121nnXXXgxxxg是则称?,,,,),(,,22321哪些不是些是统计量判断下列各式哪为未知为已知其中样本的一个是来自总体设NXXX,11XT,3212XeXXT),(313213XXXT),,,max(3214XXXT,2215XXT).(123222126XXXT是不是实例12.几个常用统计量的定义,,,,21是来自总体的一个样本设nXXX(1)样本平均值;11niiXnX(2)样本方差niiXXnS122)(11.11niixnx其观察值.,,,21是这一样本的观察值nxxx.11122niiXnXn其观察值niixxns122)(11(3)样本标准差;11122niiXXnSS其观察值.)(1112niixxns.11122niixnxn(4)样本k阶(原点)矩;,2,1,11kXnAnikik其观察值.,2,1,11kxnnikik(5)样本k阶中心矩;,3,2,)(11kXXnBnikik其观察值.,3,2,)(11kxxnbnikik,)(存在记成阶矩的若总体kkXEkX证明,,,,21同分布独立且与因为XXXXn,,,,21同分布独立且与所以kknkkXXXX)(1kXE故有再根据第五章辛钦定理知由以上定义得下述结论:,时则当n,kPkA.,2,1k)(2kXE)(knXE.k;,2,1,11kXnkPniki辛钦定理由第五章关于依概率收敛的序列的性质知),,,,(),,,(2121kPkgAAAg.是连续函数其中g由第五章关于依概率收敛的序列的性质知),,,,(),,,(2121kPkgAAAg.是连续函数其中g以上结论是下一章所要介绍的矩估计法的理论根据.3.经验分布函数相应的统计量称为经验总体分布函数)(xF经验分布函数的做法如下:,,,,21的一个样本是总体设FXXXn,,,)()(21中不大于表示用nXXXxxS)(为定义经验分布函数xFn)(),(1)(xxSnxFn.分布函数,的随机变量的个数x,对于一个样本值).)()((表示的观察值仍以xFxFnn实例,3,2,1具有一个样本值设总体F则经验分布函数.)(的观察值容易求得xFn)(3的观察值为xF,1,32,31,0)(3xF,1x,21x32x.3x实例,2,1,1具有一个样本值设总体F)(3的观察值为则经验分布函数xF,0)(3xF,1x,1.2x,3221x一般地，,,,,21样本值的一个容量为是总体设nFxxxn,,,,21按自小到大的次序排列先将nxxx,并重新编号,)()2()1(nxxx)(的观察值为则经验分布函数xFn)(xFn,0,nk,1,)1(xx，)1()(kkxxx.)(nxx,x对于任一实数,时充分大当对于任一实数nx格里汶科定理经验分布函)()(xFxFn与总体分布函数数的任一个观察值,只有微小的差别来从而在实际上可当作)(xF.使用.10)()(suplimxFxFPnxn,)(xF一致收敛于分布函数1)(以概率xFn,时当n即格里汶科定理二、常见分布统计量的分布称为抽样分布.分布2.1分布，的服从自由度为2n自由度是指上式右端包含的独立变量的个数.的样本，，是来自总体设1)0(N,21nX,,XX则称统计量222212nXXX).(~22n记为分布的概率密度为)(2n)(yf证明,2,21)1(2分布分布即为因为),1,0(~NXi又因为),1(~22iX由定义.,,2,1,2,21~2niXi即,0，2122e)2(21ynnyn0y.其他.)(2图分布的概率密度曲线如n,,,,21相互独立因为nXXX,,,,22221也相互独立所以nXXX分布的可加性知根据2~niiX12.2,2n分布的性质2性质1),(~1221n设)(2分布的可加性(此性质可以推广到多个随机变量的情形.)),(~22iin设,立独22,21并且),(~2222n).(~2122221nn则,独立相互并且),,2,1(2miimii12则~).(212mnnn性质2),(~22n若证明),1,0(~NXi因为)(2iXE所以)(2iXD23.,,2,1ni)(2E故niiXE12)(,n)(2DniiXD12)(.2n)(2分布的数学期望和方差,)(2nE则.2)(2nD)(iXD,1224)]([)(iiXEXE,1niiXE12niiXD12分布的分位点2,对于给定的正数.分位点的值得上.)()(22分位点分布的上为的点nn)}({22nP)(2d)(nyyf,10称满足条件,对于不同的,n可以通过查表求,的值求z05.0z025.0z根据正态分布的对称性知.1zz,645.1,96.1例1的上服从标准正态分布设)1,0(),1,0(NNX,deπ21}{22xzXPzzx满足分位点.可通过查表完成附表1-1附表1-2分位点满足的上设)(),(~22nnZ,d);()}({)(222nynynZP,)(2的值求n)8(2025.0)10(2975.0)25(21.0附表4只详列到n=45为止.,535.17,247.3.382.34例2在Matlab中求解.可通过查表完成附表2-1附表2-2附表2-3,充分大时当n例如2205.0)99645.1(21)50(.221.67利用上面公式,而查详表可得.505.67)50(205.0,45时可以求得n费舍尔(R.A.Fisher)证明:.分位点的近似值上.分位点是标准正态分布的上其中z.)12(21)(22nzn费舍尔资料),1,0(~NX设t分布又称学生氏(Student)分布.tntnnnthn,12π21)(212分布的概率密度函数为)(nt分布t2.,/分布的服从自由度为称随机变量tnnYXt,,独立且YX),(~2nY).(~ntt记为则随机数演示分布函数与密度函数演示学生氏资料图分布的概率密度曲线如t显然图形是关于形.,eπ21)(lim22tnth因为,)1,0(分布分布近似于足够大时所以当Ntn,n但对于较小的.)1,0(分布相差很大分布与Nt当n充分大时,其图形类似于标准正态变量概率密度的图.0对称的t,对于给定的可以通过查表求由分布的对称性知).()(1ntnt,45时当n分布的分位点t.)()(分位点分布的上为的点ntnt)(d)()}({nttthnttP,10称满足条件.分位点的值得上.)(znt分位点满足的上设)(),(~ntntT,d);()}({)(ntynytntTP,)(的值求nt)10(05.0t,8125.1)15(025.0t.1315.2例3在Matlab中求解.可通过查表完成附表3-1附表3-2),(~12nU设分布F3.,布分的服从自由度为随机变量FnnnVnUF),(//2121),(~22nV,,独立且VU则称).,(~21nnFF记为随机数演示分布函数与密度函数演示分布的概率密度为),(21nnF)(y,12222212112221212111nnnnnynnnynnnn,0,0y.其他图分布的概率密度曲线如F根据定义可知,).,(~112nnFF则分布的分位点F,对于给定的),,(~21nnFF若.),(),(2121分位点分布的上为的点nnFnnF),(2121d)()},({nnFyynnFFP称满足条件,10分位点满足分布的上设),(21nnF,),(21的值求nnF)8,7(025.0F)30,14(05.0F,d)()},({),(2121nnFyynnFFP,90.4.31.2例4在Matlab中求解.可通过查表完成附表4-2附表4-1:分位点具有如下性质分布的上F.),(1),(12211nnFnnF证明)},({1211nnFFP所以),(11211nnFFP),(111211nnFFP,),(111211nnFFP),,(~21nnFF因为,),(11211nnFFP故),,(~112nnFF因为,),(112nnFFP所以,),(),(11221-1nnFnnF比较后得.),(1),(12211nnFnnF即)9,21(59.0F例)12,9(105.0F28.01.357.0.分位点的一些上用来求分布表中未列出4.正态总体的样本均值与样本方差的分布定理一),(,,,221NXXXn是来自正态总体设有的样本均值和样本方差正态总体),(2N,的样本.以下两个重要定理则有)./,(~2nNX,是样本均值X定理二,),(,,,221的样本是总体设NXXXn);1(~)1((1)222nSn.(2)2独立与SX,X则有,2方差分别是样本均值和样本S证明),1,0(~/NnX因为),1(~)1(222nSn由t分布的定义知)1()1(/22nSnnX~定理三).1(~/ntnSX则有,X,),(,,,221的样本是总体设NXXXn,2方差分别是样本均值和样本S且两者独立,).1(nt,差分别是这两个样本的方定理四分别是具有与设21,,,,,,2121nnYYYXXX,),(21N相同方差的两正态总体的样),(22N,本,且这两个样本互相独立,1111niiXnX设,1212值分别是这两个样本的均niiYnY,)(11112121niiXXnS212222)(11niiYYnS则有);1,1(~//(1)2122212221nnFSS),2(~11)()(212121nntnnSYXw,(2)22221时当,2)1()1(212222112nnSnSnSw其中.2wwSS证明(1)由定理二),1(~)1(1221211nSn),1(~)1(2222222nSn,,2221独立由假设SS分布的定义知则由F222222211211)1()1()1()1(nSnnSn.)1,1(~//2122212221nnFSS即~1),,1(21nnF221221