双根法是优化解析几何运算的又一利器

双根法是优化解析几何运算的又一利器蓝云波（广东省兴宁市第一中学，514500）解析几何历来都是高考中的重点和难点，由于其方法巧妙，运算复杂，故常令人望而生畏.特别是涉及繁冗运算的圆锥曲线综合解答题，即使学生在思路顺畅的情况下，都难于得出结果.因此，如何提高解析几何的运算能力变得至关重要.要解决解析几何中的复杂运算，算理就显得非常重要.如常见优化解析几何运算的方法有：利用圆锥曲线的定义、巧设直线方程、利用参数方程、运用点差法、合理利用平面几何知识等等，本文提供另外一种优化解析几何运算的方法——双根法，它在解决一类圆锥曲线问题中常能达到化繁为简、举重若轻的效果.我们知道，二次函数有三种形式，分别是一般式、顶点式、双根式.其中双根式可以把一般式)0(2acbxaxy表示为0))((21axxxxay，21,xx为方程02cbxax的两根.对于双根式的应用，笔者通过翻阅大量资料发现，其应用大都仅仅局限于二次函数方面，似乎不能在其他方面发挥功效，笔者又在知网上搜索双根法的文章，也不能看到其他方面的应用，似乎甚少人研究.但事实上，双根法还可以有更精彩的应用.笔者下面通过几道近几年的高考题为例，谈谈它在优化解析几何运算方面的应用.现分析如下，供大家参考.例1（2012年高考重庆卷第20题）如图所示，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为21,FF，线段21,OFOF的中点分别为21,BB，且△21BAB是面积为4的直角三角形.（1）求该椭圆的离心率和标准方程；（2）过1B作直线l交椭圆于QP,两点，使22QBPB，求直线l的方程.分析：本题是一道典型的直线与圆锥曲线的综合解答题，通常的做法是联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理消元解决.结合本题，问题的关键是解决22QBPB这个条件转换为向量的数量积为零之后的复杂运算，思路虽然清晰，但运算比较复杂.传统解法：（1）该椭圆的离心率552e，标准方程为142022yx；（2）由（1）知0,2,0,221BB.当直线l垂直于x轴时，显然不成立.当直线l不垂直于x轴时，可设其方程为2xky.2211,,,yxQyxP.由,1420,222yxxky得02025222xkx.即0202020)51(2222kxkxk，22212221512020,5120kkxxkkxx.22QBPB，022212122yyxxQBPB.因为点QP,在直线)2(xky上，所以)2(),2(2211xkyxky.所以0)2)(2()2)(2(21221xxkxx所以04)(2)(2422122122121kxxkxxkxxxx化简得044))(22()1(2212212kxxkxxk.所以0445120)22(512020)1(2222222kkkkkkk，所以01515)22(5155)1(2222222kkkkkkk，故0)51)(1()5)(22()55)(1(222222kkkkkk，所以0155101055222444kkkkkk，故04162k，21k.故直线l的方程为)2(21xy，即022yx或022yx.点评：此法虽然思路清晰，但运算极为繁琐.特别是在紧张的考试中，学生能算出最后结果的微乎其微.本题中，如何化简0)2)(2()2)(2(21221xxkxx是运算的难点.上述的解法虽然可行，但效率却不够高，且极容易出错.事实上，我们只要能把)2)(2(21xx和)2)(2(21xx用k来表示，问题便能得到解决.如若注意到21,xx是方程的两根，可把02025222xkx左端的式子用双根法表示，然后进行合理赋值，就能轻而易举得到结果.优化解法：同传统解法可得02025222xkx与0)2)(2()2)(2(21221xxkxx，因为21,xx是方程02025222xkx的两根，所以))()(51(2025212222xxxxkxkx①，①式中令2x得，)2)(2)(51(20)22(52212222xxkk，所以2221511680)2)(2(kkxx，①式中令2x得，)2)(2)(51(20)22(5)2(212222xxkk，所以2215116)2)(2(kxx，.05116645116511680)2)(2()2)(2(22222221221kkkkkkxxkxx所以016642k，即21k.下同传统解法.点评：此法通过巧设双根式并进行合理赋值，运算极为简洁，真正达到了化繁为简的效果，可以说几乎没有什么运算了，令人叹为观止！【变式1】：（2013年上海春季高考理科第28题）已知椭圆C的两个焦点分别为0,11F、0,12F，短轴的两个端点分别为21,BB.（1）若△211BBF为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点2F的直线l与椭圆C相交于QP,两点，且QFPF11，求直线l的方程.（答案：（1）134322yx；（2）直线l的方程为017yx或017yx）我们现在再来看更为复杂的例2，若用传统解法解决，几乎不能算出来，而双根法则显示出巨大的威力.例2（2014年高考辽宁理科数学第20题）圆422yx的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）.双曲线1C：12222byax过点P且离心率为3.（1）求1C的方程；（2）椭圆2C过点P且与1C有相同的焦点，直线l过2C的右焦点且与2C交于BA,两点.若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程.解析：（1）可求得点P的坐标为2,2，1C的方程为1222yx；（略）（2）由（1）知2C的焦点坐标为0,3,0,3，由此设2C的方程为13212212bybx，其中01b.由点2,2P在2C上，得12322121bb，解得321b.因此2C的方程为13622yx.显然l的斜率不为0，故可设l的方程为3myx.点2211,,,yxByxA，由,136,322yxmyx得0332222myym，因为21,yy是方程的两根，故有2122223322yyyymmyym①因为112,2yxAP，222,2yxBP，所以21212222yyxxBPAP2121223232yymymy022323221212yyymymm②①式中令2y得212222236222yymmm，所以21622222221mmmyy，③①式中再令my32得212223232233232322ymymmmmmm，所以264104323222212mmymymm.④③、④代入②易得011646222mm，故可解得1263m，因此直线l的方程为031263yx或031263yx.点评：本题方法使用了巧设直线方程的技巧，有效地降低了运算，在此基础上运用双根法，更是达到了优化运算的效果，可以说是双剑合璧！【变式2】：（2015年高考福建理科数学第18题）已知椭圆01:2222babyaxE过点2,0，且离心率为22．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线Rmmyx1交椭圆E于A，B两点，判断点0,49G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．（答案：（1）12422yx；（2）点0,49G在以线段AB为直径的圆的圆外）我们通过上面几道高考题的分析，我们发现，双根法在解决解析几何中涉及MBMA（其中为常数，M为定点，BA,为直线与圆锥曲线的交点）的问题时具有巨大的威力，能使问题得到有效的解决.使得繁琐的运算变成简单可行的任务，能极大地提高解题效率！