泛函分析在控制理论与控制工程中的应用

兰州交通大学第1页第2页兰州交通大学论文泛函分析在控制理论与控制工程中的应用泛函分析在控制理论与控制工程中的应用摘要：泛函分析作为一门独立的数学分支已经不断渗透到各个应用领域，包括介质力学、电磁场理论，控制理论与控制工程学科等，本文根据泛函分析的相关知识，举例介绍泛函分析在控制理论与控制工程领域中的应用，主要包括内积空间中投影定理在最佳逼近中的应用，以及Hilbret变换在滤波器设计中的应用。关键词：控制理论与控制工程内积空间最佳逼近投影定理Hilbret变换中图分类号：0177.9202311引言人们在研究各种自然系统、社会经济系统和工程系统时，发现其内在机理有神奇的相似之处，它们都可以用同一的数学工具进行描述和分析。而现代数学理论的发展，已经正在不断地为控制理论与控制工程提供强有力地分析和计算方法。泛函分析正是这样一门数学工具，控制理论与控制工程中几乎所有的问题都可以用泛函分析中有关空间和算子的术语来描述，而泛函分析严谨广博的理论体系，对所研究问题的归属有明确的规定，同时可以向研究者提供解决问题的途径。例如：利用对偶空间和伴随算子的理论，可以解释控制理论中几乎所有的对偶定理，而这些定理的发现，大多数也是数学结论直接演绎的结果。泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科，是从变分问题、积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论、几何学和现代数学的观点，来研究无限维向量和向量空间上的函数、算子和几线理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。根据不同的拓扑和代数结构泛函空间可以划分为不同的类别，在工程设计中有一下几类:(1)线性拓扑空间，它可满足开集的基本公里，这要就可以引入极限、收敛等初等分析的概念。泛函空间绝大部分是无限维数，线性结构的度量空间是拓扑空间的重要一例。(2)Banach空间，它具有良好的完备性，如逆算子定理和开映照定理。（3)内积空间，内积可以将几何空间更加形象的表述出来，它将几何术语引入抽象空间如：长度、直角性、投影、向量和空间距离等。（4）Hilbert空间，它是内容最丰富的内积空间，如Fourier在Hilbert空间的展开。算子理论是泛函分析的重要内容，它可对算子集引入线性结构和范数从而构成高层算子空间，其中的共轭空间是最为重要的由此引出的投影算子、酉算子等。综上可知泛函分析是代数、几何和拓扑的综合学科，高度的抽象性使得该学科在解决各种复杂的工程问题时具有更好的实用性。泛函分析已经渗透到控制理论与控制工程的各个分支，“欲穷千里目，更上一层楼”，控制理论与控制工程研究者只有掌握泛函分析这一工具，才可能一览当今研究潮流中“群峰竞秀，万水争流”的局面。2内积空间中投影定理在最佳逼近中的应用在工程与学科实践中，常常遇到函数近似计算问题，如果涉及的空间为内积空间，则函数的最佳逼近问题域投影定理密切相关，只要逼近子空间是完备的，则求最佳逼近的元素，就相当于求投影。如果在连续函数空间中，讨论的范数不由内积导出，在此范数意义下讨论兰州交通大学第3页第4页的最佳逼近就是通常所说的一直逼近问题。2.1基本定义2.1.1内积空间设X是数域F上的线性空间，若存在映射,：FXX满足下述三个条件：对于任意的FXzyx,,,,，（1）对第一变元的线性：zyzxzyx,,,；（2）共轭对称性：xyyx,,；（3）正定性：0,xx；而且00,xxx；则称,是X上的内积（innerproduct）,并称为内积空间。通常，在内积已被理解的情况下，,,X可以简单记作X。当F为实数域时：称为实内积空间；当F为复数域时：称为复内积空间。由（1）和（2）可以推出内积还具有以下性质：（4）对第二个变元的共轭线性：zxyxzyx,,,（5）0,00,yx。例2.1：设X是实)(2L空间，定义下述内积：.)(,,)()(:,2Lgfdttgtfgf由lderoH不等式，)()(tgtf是可积的，并容易验证).,.),((2L是一个内积空间。当X是复)(2L空间时，此时定义如下的内积：).(,,)()(:,2Lgfdttgtfgf容易验证).,.),((2L是一个内积空间。例2.2：设nRX定义内积为：.),,(),,,(,:,21211Xyyyyxxxxyxyxnnnkkk容易验证).,.,(nR是一个实内积空间。2.1.2点到集合的距离设X是度量空间,M是X的非空子集,x是X中的一点,称),(infyxdMy为点x到M的距离,记为),(Mxd在赋范线性空间中：yxMxdMyinf),(（2.1）2.1.3投影定理设Y是Hilbert空间的闭子空间，那么成立YYX（2.2）证明：因为Y是X的闭子空间，所以Y是X的完备子空间，对于任何Xx，存在唯一的Yy及Yz，使zyx，若另有Yy1及Yz1，使11zyx则zzyy11因为}0{YYz-z,Yz-z,1111yyYyy因此，zz,11yy，这就证明了YYX，证毕。2.1.4正交投影设X是一个内积空间，M是内积空间的子空间，对Xx，若存在y，Mz，使得zyx（2.3）则称其为x的正交分解，称y为x在M上的投影。2.1.5极小化定理设X是内积空间，M是X中非空凸集，并且X中内积导出的距离完备，那么对每个Xx，存在唯一的My使得),(Mxdyx（2.4）证明：兰州交通大学第5页第6页令),(Mxd，由下确界定义，存在Myn，,4,3,2,1n，使xyyxyyvvmnmnmn)(2122因为M是凸集，所以Myymn)(21，由此可得：2mnvv又因为mnmnvvyy，有平行四边形法则，有,)(2)-(2)vv(2vv-222222mnmnmnmnmnvvyy可知是M中柯西点列,单M按内积导出的距离完备因而存在My,使)(nyyn，因为My，所以，yx，但是yyyyyxyxnnnn上面不等式右端当时n，极限为，所以得到yx。若又有My0，使得0yx，2022202022020)(21422x)-(yx)-(yx-y2x-y2)()(xyyxyxyyy有M凸性，Myy)(210，所以220)(21xyy，因此04402220yy因而00yy，即0yy。这就证明了唯一性。证毕。2.2内积空间中直交集合、直交序列与最优逼近问题设H是内积空间，M是H的子集，称其为直交集合，如果对任意,0,xMx而且满足xyMyyx,,0,（2.5）称M为直交规范集合，如果Myxyxyxyx,,1,0,；若；若（2.6）如果M是H中的可数集，且为直交集合（或直交规范集合），则称为直交序列。显然，对于直交集合M中的任意一组元;,2,1,,},,,{21njixxxxxjin则必有22221221nnxxxxxx（2.7）事实上，因},,{321nxxxspanx由勾股定理得23221221nnxxxxxxx依次类推即得式（2.7）定理2.1（Bessel不等式）设H是内积空间，}{ne是H的直交规范序列，则对任意Hx有221,xexn（2.8）证明：令则,,,1yxzHexeynnn0,,,,,,,,,,,,12`111nnnnnnnmmmnnnxeexxeexeexeexexyyyxyyxyz所以;yz而且;222zy从而有兰州交通大学第7页第8页0,122222nnxexyxz即得式（2.8）当},,{21neee是H中有限直交规范序列，Hx，则式（2.8）的不等式仍然成立。令,,,2,1,},,,{21nieeespanMin选择使得),(min1Mxdisexniiii（2.9）称为最优逼近问题。2.3投影定理在最佳逼近中的应用在3R空间中寻找一个向量)3,2,1(xxx，使得dtxttxxexxxFt))21(()3,2,1(202达到最小。根据投影定理：令dttgtfgflX202)()(,],2,0[因此有：222)321(3,2,1(uetxxxexxxFtt令texttspanM},,,1{2，则M是X的完备子空间。由极小化向量定理可知，x在M上存在唯一最佳逼近元u，设2321txtxxu，由投影定理可知：uet分别于M的基地2,,1tt垂直，即内积为零：0),(0),(0)1,(2tuetueuettt由三个方程求出求出未知数3,2,1xxx，3,2,1xxx即为所求向量。3.Hilbert变换在滤波器设计中的应用基于广义Hilbert变换将传统的Hilbert变换由整数阶像分数阶的推广，相对于分布参数控制系统，广义分布参数控制系统有着更加广泛的应用，如：信号传播，分数演算等。在设计基于Hilbert变换的滤波器时，其窗函数的选取对滤波器的输出有着较大的影响。本章在利用穿函数法设计Hilbert滤波器的同时，并分析了设计误差。3.1希尔伯特空间变换的基本原理定义3.1：设X是一个非空集合，F是实数R或复数域C，X称为F上的线性空间，若以下条件成立：对于X中的任意的两个元素x，y有唯一的元素zX与其对应，称z为x与y的和，记为yxz。又对于X中任意元素x及F中任一数，有唯一元素uX与之对应，称u为数与元素x的数积，记为u=x，并且对于任意的x，y，zX，F，上述的加法与数乘运算满足下列条件：（1）xyyx；（2）zyxzyx；（3）X中存在元素使得对任一xX，+x=x，称为X的零元；（4）对任何xX，存在加法逆元-x，使得x+（-x）=；（5）xx1，x0；（6）xx；（7）xxx；（8）yxyx。则称X是数域F上的线性空间。特别地当F为实（或复）数域时，称X为实（或复）的线性空间。定义3.2设X是数域F上的一个线性空间。如果对于X中每个元素x，按照一定的法则对应于一个实数x，而且对于任意的x,Xy和F，下述三条范数公里被满足：（1）正定性：0x；而且xx0；（2）绝对其次性：xx；（3）三角不等式：yxyx；则称,X为赋范线性空间，x称为元素x的范数。通常，在范数已被理解的情况下，,X兰州交通大学第9页第10页可以简单记作X。在赋范线性空间X中，我们可以用yxyxd,，定义元素x与y之间的距离。显然，,X成为一个距离空间。X中的点列}{nx在X中收敛于点x，是指：yxyxd,n0自然地称}{nx一范数收敛于x，有时也称}{nx强收敛于x，记作xxnnlim，或}{nx强nx。定义3.3如果赋范线性空间,X中的点列}{nx满足Cauchy条件：0lim,nmnmxx（3.1）则称}{nx为,X中的Cauchy点列或基本点列。若X中所有的Cauchy点列恒收敛，则称X是完备的，而且称,X为Banach空间。收敛点列必为Cauchy点列，Banach空间中的Cauchy点列都收敛，Banach空间正是使得Cauchy收敛原理成立的赋范线性空间。Cauchy收敛原理表明F是Banach空间。例3.1：连续函数空间]),([baC是banach空间。证明：在]),([baC中，定义元素)(tx与)(ty的相加以及标量与