题型一数形结合解决方程的根的个数问题

高中数学解题思想与方法一（数形结合）题型一数形结合解决方程的根的个数问题1.对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝a2－ab，a≤b，b2－ab，ab.设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．2.已知：函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝lgx解的个数是()A．5B．7C．9D．10题型二数形结合解不等式问题3.已知函数f(x)＝－x2＋2x，x≤0，lnx＋1，x0.若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．[－2,1]D．[－2,0]4.已知函数y＝|x2－1|x－1的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．5.设有函数f(x)＝a＋－x2－4x和g(x)＝43x＋1，已知x∈[－4,0]时恒有f(x)≤g(x)，则实数a的取值范围为________________6.已知不等式x2＋ax－2a20的解集为P，不等式|x＋1|3的解集为Q，若P⊆Q，则实数a的取值范围为__________________题型三数形结合解决有明显几何意义的式子(概念)问题7..已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是()A．1B．2C.2D.228..在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2x－y－2≥0，x＋2y－1≥0，3x＋y－8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为()A．2B．1C．－13D．－129..已知函数f(x)＝ax2＋bx－1(a，b∈R且a0)有两个零点，其中一个零点在区间(1,2)内，则ba＋1的取值范围为()A．(－∞，1)B．(－∞，1]C．(－2,1]D．(－2,即10.已知点P(x，y)的坐标x，y满足x－2y＋1≥0，|x|－y－1≤0，则x2＋y2－6x＋9的取值范围是()A．[2,4]B．[2,16]C．[4,10]D．[4,16]题型四数形结合解几何问题11．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2高中数学解题思想与方法一（数形结合）上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．52－4B.17－1C．6－22D.1712.已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A．(14，－1)B．(14，1)C．(1,2)D．(1，－2)13.已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值．14.已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．15.设关于θ的方程3cosθ＋sinθ＋a＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β.(1)求实数a的取值范围；(2)求α＋β的值．高中数学解题思想与方法一（数形结合）参考答案题型一数形结合解决方程的根的个数问题1.解析由定义可知，f(x)＝2x－1x，x≤0，－x－1x，x0.作出函数f(x)的图象，如图所示．由图可知，当0m14时，f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3.不妨设x1x2x3，易知x20，且x2＋x3＝2×12＝1，∴x2x314.令2x－1x＝14，x0，解得x＝1－34.∴1－34x10，∴1－316x1x2x30.2.答案C解析由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0,1]的函数．又f(x)＝lgx，则x∈(0,10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．由图象可知共9个交点．题型二数形结合解不等式问题3.答案D解析函数y＝|f(x)|的图象如图．①当a＝0时，|f(x)|≥ax显然成立．②当a0时，只需在x0时，ln(x＋1)≥ax成立．比较对数函数与一次函数y＝ax的增长速度．显然不存在a0使ln(x＋1)≥ax在x0上恒成立．③当a0时，只需在x0时，x2－2x≥ax成立．即a≥x－2成立，∴a≥－2.综上所述：－2≤a≤0.故选D.4.答案(0,1)∪(1,4)解析根据绝对值的意义，y＝|x2－1|x－1＝x＋1x1或x－1，－x－1－1≤x1.在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．根据图象可知，当0k1或1k4时有两个交点．5..解f(x)≤g(x)，即a＋－x2－4x≤43x＋1，变形得－x2－4x≤43x＋1－a，令y＝－x2－4x，①y＝43x＋1－a.①变形得(x＋2)2＋y2＝4(y≥0)，即表示以(－2,0)为圆心，2为半径的圆的上半圆；②表示斜率为43，纵截距为1－a的平行直线系．设与圆相切的直线为AT，AT的直线方程为：y＝43x＋b(b＞0)，则圆心(－2,0)到AT的距离为d＝|－8＋3b|5，由|－8＋3b|5＝2得，b＝6或－23(舍去)．∴当1－a≥6即a≤－5时，f(x)≤g(x)．6.解x2＋ax－2a2＝(x＋2a)(x－a)0.|x＋1|3⇒Q＝{x|－4x2}．当－2aa，即a0时，P＝{x|－2axa}．高中数学解题思想与方法一（数形结合）∵P⊆Q，∴－2a≥－4，a≤2，a0.解得0a≤2.当－2a＝a，即a＝0时，P＝∅，P⊆Q.当－2aa，即a0时，P＝{x|ax－2a}，∵P⊆Q，∴a≥－4，－2a≤2，a0，解得－1≤a0综上可得－1≤a≤2.题型三数形结合解决有明显几何意义的式子(概念)问题7.答案C解析如图，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则CA→＝a－c，CB→＝b－c.由题意知CA→⊥CB→，∴O、A、C、B四点共圆．∴当OC为圆的直径时，|c|最大，此时，|OC→|＝2.8..答案C解析如图，由x＋2y－1＝0，3x＋y－8＝0得A(3，－1)．此时直线OM的斜率最小，且为－13.9..答案D解析因为a0，所以二次函数f(x)的图象开口向上．又f(0)＝－1，所以要使函数f(x)的一个零点在区间(1,2)内，则有a0，f10，f20，即a0，a＋b－10，4a＋2b－10.如图所示的阴影部分是上述不等式组所确定的平面区域，式子ba＋1表示平面区域内的点P(a，b)与点Q(－1,0)连线的斜率．而直线QA的斜率k＝1－00－－1＝1，直线4a＋2b－1＝0的斜率为－2，显然不等式组所表示的平面区域不包括边界，所以P，Q连线的斜率的取值范围为(－2,1)．故选D.10.答案B解析画出可行域如图，所求的x2＋y2－6x＋9＝(x－3)2＋y2是点Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q到射线x－y－1＝0(x≥0)的距离d的平方，最大值为|QA|2＝16.∵d2＝|3－0－1|12＋－122＝(2)2＝2.∴取值范围是[2,16]．题型四数形结合解几何问题11．答案A解析设P(x,0)，设C1(2,3)关于x轴的对称点为C1′(2，－3)，那么|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝2－32＋－3－42＝52.而|PM|＝|PC1|－1，|PN|＝|PC2|－3，∴|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥52－4.12.答案A解析定点Q(2，－1)在抛物线内部，由抛物线的定义知，动点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，问题转化为当点P到点Q的距离和点P到抛物线的准线距离之和最小时，求点P的坐标，显然点P是直线y＝－1和抛物线y2＝4x的交点时，两距离之和取最小值，高中数学解题思想与方法一（数形结合）解得这个点的坐标是(14，－1)．13.解从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SRt△PAC＝12|PA|·|AC|＝12|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时|PC|＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|PA|＝|PC|2－|AC|2＝22.∴(S四边形PACB)min＝2×12×|PA|×|AC|＝22.14.已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．解(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a0时，对x∈R，有f′(x)0，∴当a0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a0时，由f′(x)0，解得x－a或xa，由f′(x)0，解得－axa，∴当a0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)；单调减区间为(－a，a)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图象可知：m的取值范围是(－3,1)．15.解方法一(1)设x＝cosθ，y＝sinθ，则由题设知，直线l：3x＋y＋a＝0与圆x2＋y2＝1有两个不同的交点A(cosα，sinα)和B(cosβ，sinβ)．所以原点O到直线l的距离小于半径1，即d＝||0＋0＋a32＋12＝|a|2＜1，∴－2＜a＜2.又∵α、β∈(0,2π)，且α≠β.∴直线l不过点(1,0)，即3＋a≠0.∴a≠－3，即a∈(－2，－3)∪(－3，2)．(2)如图，不妨设∠xOA＝α，∠xOB＝－β，作OH⊥AB，垂足为H，则∠BOH＝α－β2.∵OH⊥AB，∴kAB·kOH＝－1.∴tanα＋β2＝33.又∵α＋β2∈(0,2π)，∴α＋β＝π3或α＋β＝7π3.方法二(1)原方程可化为sin(θ＋π3)＝－a2，作出函数y＝sin(x＋π3)(x∈(0,2π))的图象．由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是－1＜－a2＜1－a2≠32，即－2＜a＜－3或－3＜a＜2.(2)由图知：当－3＜a＜2，即－a2∈－1，32时，直线y＝－a2与三角函数y＝sin(x＋π3)的高中数学解题思想与方法一（数形结合）图象交于C、D两点，它们中点的横坐标为7π6，∴α＋β2＝7π6，∴α＋β＝7π3.当－2＜a＜－3，即－a2∈32，1时，直线y＝－a2与三角函数y＝sin(x＋π3)的图象有两交点A、B，由对称性知，α＋β2＝π6，∴α＋β＝π3，综上所述，α＋β＝π3或α＋β＝7π3.