5.本构模型-应力更新专题-UMAT和VUMAT

计算固体力学应力更新专题柳占立庄茁[e-mail]2020年3月6日导出有限元方程（完全，更新、共旋）不同用户要求：知道有限元基本流程；编写本构关系、节点内力开发有限元程序第4-6章求解有限元方程（隐式和显式）有限元基本知识有限元高级知识单元技术、结构单元、接触等第7-10章应力更新1.什么是应力更新2.几种客观率3.前推后拉及Lie导数4.常用客观率应力更新流程5.ABAQUS用户自定义材料理论应用有限元程序赋予力学以活力0()()ttttdtσσσdBTITIσfint1.应力更新应力增量xyttt,FRDD0t,FRTJFσFS1TTTJJJFσFFσFFσFS111F×S×FT=Js()×-L×Js()-Js()×LTsÑTº1JF×DDtF-1×Js()×F()æèçöø÷×FT=s+Ñ×vs-L×s-s×LTtÑTºt-L×t-t×LT=F×DDtF-1×t×F-T()æèçöø÷×FTºLvt2.几种客观率Truesdell率：前推Lie导数tJs:SESCE2.几种客观率Green-Naghdi率：前推Lie导数TTTTGDtDRRσσRRσRRσRRσˆTσRσRˆGTDDtσRσRGTσσΩσσΩˆˆˆˆ:DsσCDTΩRR共轴旋转应力率2.几种客观率JTσσWσσW1112TWΩRUUUURGTσσΩσσΩJaumann率：=WRigidbodyrotationorTheprincipaldirectionsofthestrainremainingconstantJTσσWσσW如何得到2.几种客观率TTσσLσσLvσGTσσΩσσΩTruesdell率：Green-Naghdi率：JTσσWσσWJaumann率：0()()ttttdtσσσ应力更新:本构关系例4.1考虑处于剪切状态的一个单元，如图所示。对于次弹性各向同性材料，应用Jaumann，Truesdell和Green－Naghdi率求出剪切应力x(t)=X+ktY,y(t)=Y,z(t)=Z:DsσCD2.几种客观率CCCJTGDssssC对于不同客观率采用了相同的材料常数，其差别是非常大的。事实上，这是误用了材料模型。材料模型必须根据不同的率转换。这是变形体，若是刚体转动，Jaumann率与Truesdell率是一致的。例4.12.几种客观率Green-Naghdi率Jaumann率发生有限剪切时慎用Jaumann率切线模量之间的关系对于各向同性材料Jaumann率的切线模量为次弹性本构关系共同应用的形式为DCσ:JJsDCσ:TTsDCσ:GGs)(jkiljlikklijJijklCs对于同一种材料，切线模量不同，材料反应的率形式不同，如*CCIσCCCJJTssJsCTsC如果是常数，不是常数。切线模量证明见第5.4.5节，推导复杂σGσT*spinCCCC2.几种客观率的关系如何得到正确的结果？2.几种客观率的关系如何得到正确的结果？ECS:SE::::TSETTTTFSFFFCFFFFE:::or:TSESEijklimjnkplqmnpqCFFFFCttτFFFFCDCD假设CSE已知：假设已知：ˆˆDsCˆˆ:()::GDsσRRRRCD如何处理各向异性材料？ˆˆ:C():GDssRRRRC2.几种客观率的关系如何得到正确的结果？如何处理各向异性材料？ˆˆ:C():GDssRRRRC::TSECtFFFFCxyPK2和共轴旋转应力横观各向同性:SESCEˆˆˆˆ:DsσCD2.几种客观率的关系什么时候可以不区分几种客观率？TTsssssvLLGTσσΩσσΩJTσσWσσWAssumeF≈R,ignoringthestretchcomponentofFAssume=W退化简化ComparisonofdifferentobjectivestressrateTruesdell•Difficulttoimplement•NotusedincommercialsoftwareGreen-Naghdi•KinematicallyconsistentwiththerateofCauchystress•MustaccuratelydeterminetherotationtensorRJaumann•Relativelyeasytoimplement•ProducessymmetrictangentmoduliGTσσΩσσΩTTσσvσLσσLJTσσWσσW2.几种客观率的关系总结一：2.几种客观率的关系总结二：ˆˆ:C():GDssRRRRC::TSECtFFFFCxy当参考构型和当前构型重合时：F=I当旋转构型和当前构型重合时：R=I0,,d=dTSECtCS=σˆˆˆC,GDssCσσ使TL和UL的互相转换变得非常方便！SolverElementTypeObjectiveRateAbaqus/StandardSolid(Continuum)JaumannStructural(Shells,Membranes,Beams,Trusses)Green-NaghdiAbaqus/ExplicitSolid(Continuum)Jaumann&Green-NaghdiStructural(Shells,Membranes,Beams,Trusses)Green-Naghdi2.几种客观率的关系总结三：后拉、前推Euler张量Lagrangian张量两点张量Green应变张量EPK2应力线单元dX线单元dxCauchy应力速度梯度L＝D＋WLagrangian矢量dX和Eulerian矢量dx定义的二阶张量可以由后拉和前推运算给出E-L张量之间映射的统一描述。例如，L矢量dX由F前推到当前构形给出E矢量dxXXFxddd*E矢量dx由1F后拉到参考构形给出L矢量dXxxFXddd*1Lagrangian–EulerianEulerian-Lagrangian前推运算后拉运算通过在拓扑空间的分析，获得各种张量之间的关系和映射3.前推后拉及Lie导数后拉、前推二阶张量的后拉和前推运算给出了在变形和未变形构形情况下张量之间的关系，例如Green应变率和变形率的关系，PK2应力与Cauchy应力的关系。这些定义取决于是否一个张量是动力学还是运动学的，区别在于由这些张量所观察到的功的共轭性：如功共轭的运动学和动力学张量被后拉或前推，则功必须保持不变。许多关系来自于框3.2，这些概念能够使我们发现那些不容易显示的关系。一些重要的二阶张量的后拉和前推在框5.16给出。ijklTikijTFDFEFDFE或11ljklTikijTFEFDFEFD或前推运算后拉运算TljklikijTFJFSJs11或FσFSTljklikijTFSFJJ11s或FSFσ后拉前推3.前推后拉及Lie导数Lie导数后拉和前推的概念为定义张量的时间导数提供了数学上的一致性－Lie导数。如框5.17，Kirchhoff应力的Lie导数是其应力的后拉的时间导数的前推。)τF(F)τ(τ1**DtDDtDLv不严格地说，在Lie导数中，是在固定的参考构形中对时间求导，再前推到当前构形。在框5.17中给出了用势共轭方式定义的运动学张量的Lie导数。以上计算是将应力后拉到参考构型上，对时间求普通导数，再前推回到当前构型。否则是偏导数。,ΦtXx3.前推后拉及Lie导数TTTvDtDDtDDtDLFFτFFFSFττ)()(1**后拉、前推和Lie导数证明Kirchhoff应力的对流率对应于它的Lie导数TFSFt(框3.2)材料时间导数的计算TTTTTTTTTTvDtDLFFFFτFFτFFτFFFFFFτFFτFFτFFττ)()()(1111111**111FFFF1FFLTcvLLττLτττ应用得到Lie导数等价于在公式(5.4.22)中定义的Truesdell应力的对流率)τF(F)τ(τ1**DtDDtDLv3.前推后拉及Lie导数4.常用客观率应力更新流程JTσσWσσWJaumann率：0()()ttttdtσσσ应力更新:0()()tJTtttdtσσσWσσWxyttt,,FRWDDD速度梯度jiijTTxvLgrad或vvxvL速度梯度张量可以分解为对称部分和偏对称部分为2121TTLLLLLijjiijTxvxvD2121或LLDijjiijTxvxv21W21或LLW令变形率转动率任何一个二阶张量都可以表示为它的对称部分和偏对称部分的和ijijjiijTWDvL,或WDvL回顾第3章4.常用客观率应力更新流程4.常用客观率应力更新流程LS-DynaAnsys等商业软件采用此算法Jaumann率更新算法（一）1.计算1/2nL+，1/2nD+，1/2nW+2.计算应变增量1/2nεDtDD+=，转动张量增量1/2nWWtDD+=3.计算客观增量:JσCεsDD=4．更新应力1()nnnnσσσWσσWDDD+=++??0()()tJTtttdtσσσWσσWxyttt,,FRWDDD2tt4.常用客观率应力更新流程Jaumann率更新算法（二）1.计算1/2nL+，1/2nD+，1/2nW+2.计算应变增量1/2nεDtDD+=，转动张量增量1/2nWWtDD+=旋转增量11122RIWIW-骣骣鼢珑D=-D?D鼢珑鼢珑桫桫3.计算客观增量:JσCεsDD=4．更新应力1TnnσRσRσDDD+=鬃+Abaqus采用此算法DDDDTtttσRσRσ+=鬃+xyttt,,FRWDDD0()()tJTtttdtσσσWσσWHughes-Winget近似≈WFRUD=DD11122RIΩIΩ-骣骣鼢珑D=-D?D鼢珑鼢珑桫桫刚体转动求解法一：通过QR分解计算法二：通过Hughes-Winget更新，近似求解4.常用客观率应力更新流程Jaumann率xyttt,,FRWDDD100tttttttttxxxFFFxxx-+D+D+D骣骣抖¶鼢珑鼢D===珑鼢珑鼢珑抖?桫桫()ttFLFtD=譊Hughes&Winget,1980(见网络学堂课外阅读）OR≈W4.常用客观率应力更新流程0()()ttttdtσσσ应力更新:GTσσΩσσΩGreen-Naghdi率：0()()tGTtttdtσσσΩσσΩ4.常用客观率应力更新流程0()()ttttdtσσσ应力更新:ˆTDRDRˆˆˆˆ:DsσCDGreen-Naghdi率更新算法1.计算1/2nL+，1/2nD+，1/2nW+，1/2nV+2.计算刚体转动R3