3.4.6环形跑道问题

3.4.6一元一次方程与实际问题行程问题------环形跑道问题陇川县第五中学申光诺运用方程解决实际问题的一般过程是什么？1、审题：分析题意，找出题中的数量及其关系；2、设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x）；3、列方程：根据相等关系列出方程；4、解方程：求出未知数的值；5、检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案。审设列解验6、答：把所求的答案答出来。答一、激发求知欲用一元一次方程分析和解决实际问题的基本过程如下:实际问题数学问题已知量,未知量,等量关系一元一次方程方程的解解的合理性实际问题答案抽象分析列出求出验证合理一、相遇问题的基本题型1、同时出发（两段）二、相遇问题的等量关系总乙甲sss总乙甲先ssss2、不同时出发（三段）一、追及问题的基本题型1、不同地点同时出发二、追及问题的等量关系2、同地点不同时出发1、追及时快者行驶的路程－慢者行驶的路程＝相距的路程2、追及时快者行驶的路程＝慢者行驶的路程或慢者所用时间=快者所用时间+多用时间二、展示目标和任务环形跑道问题分类一、环形跑道上的追及问题二、环形跑道上的相遇问题同向而行，双方的速度不同（假设甲快，乙慢），甲追上乙后，以相同的方式在跑道上多次追上乙。我们把这种问题称为环形跑道上的追及问题背向而行，在跑道的某处相遇，以相同的方式在跑道上多次与乙相遇。我们把这种问题称为环形跑道上的相遇问题三、自主合作与交流环形跑道问题——相遇问题理论依据甲乙甲乙在同一地点出发，背向而行（甲快，乙慢），当甲与乙第一次相遇时，甲乙共同跑了一圈。由相遇问题，我们有甲总路程+乙总路程=跑道周长同样，我们可以把他们相遇的地点作为起点来看，第二次相遇的时候，甲乙共同又跑了一圈，甲和乙总共跑了两圈，有：甲总路程+乙总路程=跑道周长*2……从而我们可以发现，每相遇一次，甲乙就共同多跑了一圈，因此，相遇的次数就等于共同跑的圈数。甲总路程+乙总路程=跑道周长*N环形跑道问题——追及问题理论依据甲乙在同一地点出发，同向而行（甲快，乙慢），当甲追上乙时，肯定比乙多跑了一圈。（第一次甲追上乙）甲乙这时，我们可以看做甲乙在同一地点出发，同向而行，当甲再次追上乙时，肯定又比乙多跑了一圈。（第二次追上时）……从而我们可以发现，每追上一次，甲就比乙多跑一圈，因此，追上的次数就等于多跑的圈数。甲总路程-乙总路程=跑道周长甲总路程-乙总路程=跑道周长+1圈周长甲总路程-乙总路程=跑道周长*N例1、运动场的跑道一圈长400m，甲练习骑自行车，平均每分骑350m，乙练习跑步，平均每分250m．两人从同一处同时反向出发，经过多少时间首次相遇？分析：圆形跑道中的规律：(第1次相遇)快者跑的路程+慢者跑的路程＝1圈的长度(第2次相遇)快者跑的路程+慢者跑的路程＝2圈的长度(第3次相遇)快者跑的路程+慢者跑的路程＝3圈的长度……….(第n次相遇)快者跑的路程+慢者跑的路程＝n圈的长度解：设经过x分钟首次相遇，则依题意可得350x+250x=400解得：x=答：经过分钟甲、乙相遇。3232变式1、若两人同时反向出发，且两人相距100米。问经过多少时间两人首次相遇？1.相遇问题——同时反向不同地.gsp变式2、若两人从同一处反向出发，且乙先跑1分钟。问经过多少时间两人首次相遇？2.相遇问题——同地反向慢先跑.gsp变式3、若两人从同一处反向出发，且甲先跑1分钟。问经过多少时间两人首次相遇？3.相遇问题——同地反向快先跑.gsp例2、运动场的跑道一圈长400m，甲练习骑自行车，平均每分骑350m，乙练习跑步，平均每分250m．两人从同一处同时同向出发，经过多少时间首次相遇？追及问题——同时同地同向.gsp分析：圆形跑道中的规律：(第1次相遇：)快者跑的路程－慢者跑的路程＝1圈的长度(第2次相遇：)快者跑的路程－慢者跑的路程＝2圈的长度(第3次相遇：)快者跑的路程－慢者跑的路程＝3圈的长度……….(第n次相遇：)快者跑的路程－慢者跑的路程＝n圈的长度解：设经过x分钟首次相遇，则依题意可得350x-250x=400解得：x=4答：经过4分钟甲、乙相遇。变式1、甲在后，乙在前，且两人相距100米。若两人从同时同向出发，经过多少时间首次相遇？1.追及问题——同时同向不同地.gsp变式2、甲在前，乙在后，且两人相距100米。若两人从同时同向出发，经过多少时间首次相遇？2追及问题——同时同向不同地.gsp变式3、两人从同一处同向出发，若乙先跑1分钟，经过多少时间首次相遇？3.追及问题——同地反向慢先跑.gsp变式4、两人从同一处同向出发，若甲先跑1分钟，经过多少时间首次相遇？4.追及问题——同地反向快先跑.gsp找等量关系的方法：1.从题中的关键语句入手寻找等量关系。2.利用某些基本公式寻找等量关系。3.从变化的关系中寻找不变的量，进而找到等量关系。4.还可以借助图形、表格、线段图等分析较复杂问题中的等量关系。四、成果展示，教师点拨【例1】小王、叔叔在400米长的环形跑道上练习跑步，小王每秒跑5米，叔叔每秒跑7.5米。（1）若两人同时同地反向出发，多长时间两人首次相遇？例题讲解分析（1）反向相等关系：小王路程+叔叔路程=400叔叔小王【例1】小王、叔叔在400米长的环形跑道上练习跑步，小王每秒跑4米，叔叔每秒跑7.5米。（2）若两人同时同地同向出发，多长时间两人首次相遇？例题讲解分析（2）同向相等关系：小王路程+400=叔叔路程叔叔小王1.小明和爷爷在学校环形跑道上晨练，环形跑道的周长是400米，小明的速度是300米/分钟,爷爷的速度是200米/分钟，有天，小明心里在想要和爷爷赛跑。（1）他们从同一地点同时同向起跑，当小明第三次追上爷爷的时候，小明笑着对爷爷说：爷爷，我都追上了你三次了，爷爷笑着说：我知道我们跑了多长时间了！聪明的你，知道从起跑的时候算起，到小明第三次追上爷爷后，一共用了多长时间吗？五、知识验证提升解：（1）设小明第三次追上爷爷时，总共用的时间为X分钟300X-200X=400×3解得：X=12答：小明第三次追上爷爷，总共用的时间为12分钟1.小明和爷爷在学校环形跑道上晨练，环形跑道的周长是400米，小明的速度是300米/分钟,爷爷的速度是200米/分钟，有天，小明心里在想要和爷爷赛跑。（2）这次比赛后，小明疑惑的问爷爷：爷爷，要是我们向相反的方向跑，没有表，你能知道我们跑了多长时间吗？爷爷笑着说：我们就按照平时跑的速度，只要我知道我们相遇的次数，我就知道我们能跑多少时间……你能帮小明解决这个疑惑么？（2）解：假设第三次相遇，设小明与爷爷第相遇的时间为X分钟300X+200X=400×3解得：X=2.4答：小明和爷爷首次相遇，相遇时间为2.4分钟当然，我们也可以利用多次相遇公式甲总路程+乙总路程=跑道周长*N来求相遇的时间。2.运动场一圈为400米，张森和丁烁一同参加学校运动会的长跑比赛。已知丁烁然平均每分钟跑230米，张森每分钟跑150米。（1）若两人从同一处同时同向起跑，问经过多长时间两人可以首次相遇？（2）若两人从同一处同向起跑，且张森先跑2分钟。问经过多长时间两人可以首次相遇？（3）若两人从同一处同时反向起跑，问经过多长时间两人可以首次相遇？（4）若两人从同一处反向起跑，且张森先跑2分钟。问经过多长时间两人可以首次相遇？2.小结：行程问题包括相遇、追击和飞行、航行的速度问题其基本关系是：路程=时间×速度相遇问题的等量关系：甲行距离+乙行距离=总路程追击问题的等量关系：1）同时不同地：慢者行的距离+两者之间的距离=快者行的距离2）同地不同时：甲行距离=乙行距离或慢者所用时间=快者所用时间+多用时间顺水逆水的问题的等量关系：1）顺水的路程=逆水的路程2）顺速–逆速=2水速；顺速+逆速=2船速