第九章二阶及多阶抽样(抽样理论与方法河南财政学院)

河南财经学院第八章二阶及多阶抽样第九章二阶及多阶抽样河南财经学院9.1概述一、二阶抽样定义：设总体由N个初级单元组成，每个初级单元又由若干次级单元组成，若在总体中按一定方法抽取n个初级单元，对每个被抽中的初级单元再抽取若干次级单元进行调查，这种抽样称为二阶抽样。二、二阶抽样与分层抽样、整群抽样的关系：如果第一阶段抽样采用全面调查，二阶抽样就成了分层抽样；如果第二阶段抽样采用全面调查，二阶抽样就成了整群抽样。河南财经学院)ˆ(EE)ˆ(E)1(21)ˆ(VE)ˆ(EV)ˆ(V)2(2121性质l:对于两阶抽样，有式中，E2，V2为在固定初级单元时对第二阶抽样求均值和方差；E1，V1为对第一阶抽样求均值和方差。河南财经学院)]ˆ(V[E)]ˆ(E[V)]ˆ(V[E})ˆ(EE{)]ˆ(E[E})ˆ(EE{)]ˆ(V[E)]ˆ(E[E~)ˆ(EE~2)]ˆ(V[E)]ˆ(E[E~)ˆ(E~2ˆV)ˆ(EE)ˆ(VE~)ˆ(E~2)ˆ(V)]ˆ(E[~)ˆ(E~2)ˆ(E)~ˆ(E)~ˆ(EE~ˆE)ˆ(V~ˆE21212122122122121221221212212222211222222222222212，得对上式两边求由）（）（记河南财经学院9.2初级单元大小相等时的二阶抽样一、总体均值的估计量：假定总体由N个初级单元组成，每个初级单元都含有M个次级单元。从N个初级单元中按简单随机抽样抽取n个初级单元，在每个被抽中的初级单元中按简单随机抽样抽取m个次级单元。河南财经学院总体的第i个初级单元样本的第i个初级单元次级单元数Mm和均值方差M1jijiYYm1jijiyyMYYiimyyiiM1j2iij2i2)YY(1M1Sm1j2iij2i2)yy(1m1s河南财经学院iim1j2iiji2i2M1j2iiji2i2n1i2i21N1i2i210n1im1jij0n1iin1im1jijn1iiN1iM1jijN1ii00)yy(1m1s)YY(1M1Si)yy(1n1s)YY(1N1SmyyM/YYn/yyN/YYyyyYYYnmmNMMnN二级单元间的方差个初级单元第初级单元间的方差次级单元的均值初级单元的均值总和次级单元数初级单元数样本总体河南财经学院定理：若两阶段的抽样都是简单随机抽样的，则的无偏估计量；是Yy)1(N1iM1j2iijN1i2i222N1i2i21222211)YY()1M(N1SN1S)YY(1N1S,Smnf1Snf1)y(V)2(，其中n1im1j2iijn1i2i222n1i2i212221211)yy()1m(n1sn1s)yy(1n1s,smn)f1(fsnf1)y(v)3(，其中河南财经学院证明：的无偏估计量；是Yy)1(YYn1En)y(EE)ny(EE)nmy(EE)y(EE)y(En1ii1n1ii21n1ii21n1im1jij2121河南财经学院证明：222211Smnf1Snf1)y(V)2(222211N1i2i22211n1i2i212211n1iM1i2iij221n1ii1n1ii21n1ii21Snmf1Snf1SN1nmf1Snf1Sn1Enmf1Snf11M)YY(mf1n1EYn1Vyn1VE)yn1(EV)y(V河南财经学院证明：22N1i2i2n1i2i21n1iM1j2iij1n1im1j2iij21n1im1j2iij21222122SSN1Sn1E)YY(1M1n1E)yy(1m1En1E)yy()1m(n1EE)s(EE)s(E2221211smn)f1(fsnf1)y(v)3(河南财经学院.Ssmf1sSˆSmf1S)s(EE)s(E.Ss212222121222212121212222的无偏估计是的无偏估计是）的无偏估计。（是yVsmn)f1(fsnf1)y(v2221211河南财经学院例：文具商店一柜台，上月共用了18本发票，每本发票含发票200张。查帐者随机挑选了4本发票，再在挑中的发票本中随机抽了40张发票，记录其营业额。数据整理如下：估计该柜台上个月的营业总额及标准差。84.466540.357477.326024.317359.402692.368200.718095.4411yyi401i2ij401iij河南财经学院解：37.0smn)f1(fsnf1)y(v20040Mmf,184Nnf94.32sn1s69.1)yy(1n1s28.9y1601ynm1y76.3794.8410.1993.7300.1622.9290.5805.111syi222121121n1i2i222n1i2i214i40jijnimjij2i2i79.218937.020018)y(vNM)Yˆ(s00.3340828.920018yNMY河南财经学院9.3初级单元大小不等时的二阶抽样河南财经学院1m)yy(s1M)YY(Si)yy(1n1s)YY(1N1SmyyM/YYyyyYYYm/yyyyM/YYYYimmMMnNim1j2iij2i2iM1j2iij2i2n1i2i21N1i2i210n1im1jij0n1im1jijn1iiN1iM1jijN1iiiiim1jijiiiiM1jijin1ii0N1ii0iiiiiii二级单元间的方差个初级单元的第初级单元间的方差次级单元的均值总和，，总和、均值个初级单元指标第次级单元数初级单元数样本总体河南财经学院一、对初级单元进行简单随机抽样时,总体总和Y的估计第一阶抽样按简单随机抽样从N个初级单元中抽取个，第二阶抽样按简单随机抽样,在抽中的初级单元中分别独立抽取次级单元。(1)简单估计:n1iiun1i2i2ii22in1i2ui12N1i2i2ii22iN1i2i12un1iiin1iiuYn1Y,sm)f1(MnN1n)YY(nf1N)Y(vSm)f1(MnN1N)YY(nf1N)Y(VnyMNYnNY其中河南财经学院证明：的无偏估计量；是YnyMNY)1(n1iiiuYYn1NEnYNEnYMNEnyEMNE)nyMN(EE)Y(EE)Y(En1ii1n1ii1n1iii1n1ii2i1n1iii21u21u河南财经学院N1i2i2ii22iN1i2i12uSm)f1(MnN1N)YY(nf1N)Y(V证明：2n1i2i2ii22i21n1ii12n1ii2i21n1iii1n1iii21n1iii21unSmf1MNEnYNVn)y(VMNEnYMNVnyMNVE)nyMN(EV)Y(V河南财经学院N1i2i2ii22iN1i2i12N1i2i2ii22i2N1i2i12n1i2i2ii22i12N1i2i12Sm)f1(MnN1N)YY(nf1NNSm)f1(MnN1N)YY(nf1NnSm)f1(MEnN1N)YY(nf1N河南财经学院1myys,sm)f1MnN1nYyMnf1NYv1MYYS,Sm)f1MnN1NYYMnf1N)Y(MSEYVMYMYM,,MYMYim1j2iij2i2n1i2i2ii22in1i2Ri2i12RiM1j2iij2i2N1i2i2ii22iN1i2i2i12RRn1iin1ii0RiN1iiN1ii0ii）（其中（）（）（）（其中（）（）（为辅助变量：以可用比估计(2)比估计:河南财经学院二、对初级单元进行放回不等概率抽样时,总体总和Y的估计第一阶抽样按放回不等概率抽样(多项抽样)抽取初级元，第二阶抽样并没有作出特别的规定,只要初级单元指标Yi的估计是无偏的.n1i2HHiiHHN1iii22N1iiiiHHiiin1iiiHH)YzY()1n(n1)Y(vZ)Y(Vn1)YZY(Zn1)Y(VyMY,zYn1Y其中iYˆ河南财经学院2i2ii22ii2N1iii22N1iiiiHHSmf1M)Y(VZ)Y(Vn1)YZY(Zn1)Y(V其中N1iii22N1iiiin1iiii212N1iiiin1i2ii221n1iii1HH21HH21HHn1iiiHHZ)Y(Vn1)YZY(Zn1zz/)Y(Vn1En1)YZY(Zn1z)Y(Vn1E)zYn1(V)Y(VE)Y(EV)Y(VzYn1Y:证明河南财经学院自加权情形：第一阶抽样按放回不等概率抽样抽取初级单元，第二阶抽样都抽取m个。)nzfMmff(yf1Yˆff1KmnzMymzMn1zyMn1zYn1Yi0iii20n1im1jij0HH00iiin1im1jijiiin1iiiin1iiiHHii事先确定，则如果则有级单元被抽中的概率。表示总体中任意一个二其中常数则要求是自加权的，如果河南财经学院自加权情形：第一阶抽样按PPS抽样抽取初级单元，第二阶抽样按简单随机抽样抽取次级单元，都抽取m个。n1i2i20PPS0PPS0n1im1jij0n1im1jij0iin1iiiin1iiiHH)yy()1n(nM)Y(vyMYyMynmMmyM/MMn1zyMn1zYn1Y河南财经学院实际工作中，对于各级单元大小不相等时多阶抽样，自加权通常的做法是：除了最后一阶采用等概率抽样(放回的或不放回的均可)，前几阶均采用PPS抽样，并且自第二阶开始，每一阶的样本量都相同(即mi=m，kj=k,…)，则样本是自加权的，其估计量的形式非常简单。总体总和的估计为的方差估计为yMynmkMY0n1im1jk1uiju0Yˆn1i2i20)yy()1n(nM)Y(v河南财经学院一、初级单元大小相等时,最优样本量m与n的确定：1.m的确定：线性费用函数：nmcnccC210T)mcc(mSMSS)mncnc(n