8高等数学课件(完整版)详细

柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.),(yxfzD１．曲顶柱体的体积一、问题的提出播放求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，xzyoD),(yxfzi),(ii先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，.),(lim10iiniifV曲顶柱体的体积设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点),(yx处的面密度为),(yx，假定),(yx在D上连续，平面薄片的质量为多少？２．求平面薄片的质量i),(ii将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量.),(lim10iiniiMxyo定义设),(yxf是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成n个小闭区域1，,2，n，其中i表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个i上任取一点),(ii，作乘积),(iifi，),,2,1(ni，并作和iiniif),(1，二、二重积分的概念积分区域如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(yxf在闭区域D上的二重积分，记为Ddyxf),(，即Ddyxf),(iiniif),(lim10.积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的.(2)当),(yxf在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在.对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，DDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd故二重积分可写为xyoD则面积元素为性质１当为常数时，k.),(),(DDdyxfkdyxkf性质２Ddyxgyxf)],(),([.),(),(DDdyxgdyxf（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质性质３对区域具有可加性.),(),(),(21DDDdyxfdyxfdyxf性质４若为D的面积，.1DDdd性质５若在D上),,(),(yxgyxf.),(),(DDdyxgdyxf特殊地.),(),(DDdyxfdyxf)(21DDD则有设M、m分别是),(yxf在闭区域D上的最大值和最小值，为D的面积，则性质６设函数),(yxf在闭区域D上连续，为D的面积，则在D上至少存在一点),(使得性质７（二重积分中值定理）DMdyxfm),(),(),(fdyxfD（二重积分估值不等式）例1不作计算，估计deIDyx)(22的值，其中D是椭圆闭区域：12222byax)0(ab.在D上2220ayx,,12220ayxeee由性质6知,222)(aDyxede解deDyx)(22ab.2aeab区域D的面积,ab例2估计DxyyxdI16222的值，其中D：20,10yx.区域面积2,,16)(1),(2yxyxf在D上),(yxf的最大值)0(41yxM),(yxf的最小值5143122m)2,1(yx故4252I.5.04.0I解例3判断122)ln(yxrdxdyyx的符号.当1yxr时,,1)(0222yxyx故0)ln(22yx;又当1yx时,,0)ln(22yx于是0)ln(122yxrdxdyyx.解例4比较积分Ddyx)ln(与Ddyx2)][ln(的大小,其中D是三角形闭区域,三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).解三角形斜边方程2yx在D内有eyx21,故1)ln(yx,于是2)ln()ln(yxyx,因此Ddyx)ln(Ddyx2)][ln(.oxy121D二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（和式的极限）四、小结思考题将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数．思考题解答一、填空题:1、当函数),(yxf在闭区域D上______________时,则其在D上的二重积分必定存在.2、二重积分Ddyxf),(的几何意义是___________________________________.3、若),(yxf在有界闭区域D上可积,且21DDD,当0),(yxf时,则1),(Ddyxf__________2),(Ddyxf;当0),(yxf时,则1),(Ddyxf__________2),(Ddyxf.练习题4、Ddyx)sin(22__________,其中是圆域2224yx的面积,16.二、利用二重积分定义证明:DDdyxfkdyxkf),(),(.(其中k为常数)三、比较下列积分的大小:1、DDdyxdyx322)()(与,其中D是由圆2)1()2(22yx所围成.2、dyxdyxD2)][ln()ln(与,其中D是矩形闭区域:10,53yx.四、估计积分DdyxI)94(22的值,其中D是圆形区域:422yx.一、1、连续；2、以),(yxfz为曲顶,以D为底的曲顶柱体体积的代数和；3、,；4、.三、1、DDdyxdyx32)()(；2、dyxdyxD2)][ln()ln(.四、100)94(3622dyx.练习题答案如果积分区域为：,bxa).()(21xyx其中函数、在区间上连续.)(1x)(2x],[ba一、利用直角坐标系计算二重积分［X－型］)(2xyabD)(1xyDba)(2xy)(1xy为曲顶柱体的体积．为底，以曲面的值等于以),(),(yxfzDdyxfD应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,a0xbzyx)(0xA),(yxfz)(1xy)(2xy.),(),()()(21Dbaxxdyyxfdxdyxf得.),(),()()(21Ddcyydxyxfdydyxf如果积分区域为：,dyc).()(21yxy［Y－型］)(2yx)(1yxDcdcd)(2yx)(1yxDX型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别使用积分公式.321DDDD则必须分割.xy1例1改变积分xdyyxfdx1010),(的次序.原式ydxyxfdy1010),(.解积分区域如图xy222xxy例2改变积分xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的次序.原式102112),(yydxyxfdy.解积分区域如图例3改变积分)0(),(20222adyyxfdxaaxxax的次序.axy2解=ayaaaydxyxfdy02222),(原式aayaadxyxfdy0222),(.),(2222aaaaydxyxfdy22xaxy22yaaxa2aa2a例4求Ddxdyyx)(2，其中D是由抛物线2xy和2yx所围平面闭区域.解两曲线的交点),1,1(,)0,0(22yxxyDdxdyyx)(21022)(xxdyyxdxdxxxxxx)](21)([42102.140332xy2yx2xy2yx例5求Dydxdyex22，其中D是以),1,1(),0,0()1,0(为顶点的三角形.dyey2无法用初等函数表示解积分时必须考虑次序Dydxdyex22yydxexdy02102dyyey10332210262dyyey).21(61e例6计算积分yxydxedyI212141yyxydxedy121.解dxexy不能用初等函数表示先改变积分次序.原式xxxydyedxI2211121)(dxeexx.2183ee2xyxy例7求由下列曲面所围成的立体体积，yxz，xyz，1yx，0x，0y.解曲面围成的立体如图.,10yx,xyyx所求体积DdxyyxV)(1010)(xdyxyyxdx103])1(21)1([dxxxx.247所围立体在xoy面上的投影是二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）二、小结.),(),()()(21Dbaxxdyyxfdxdyxf.),(),()()(21Ddcyydxyxfdydyxf［Y－型］［X－型］设)(xf在]1,0[上连续，并设Adxxf10)(，求110)()(xdyyfxfdx.思考题1)(xdyyf不能直接积出,改变积分次序.令110)()(xdyyfxfdxI,思考题解答则原式ydxyfxfdy010)()(.,)()(010xdyyfdxxf故110)()(2xdyyfdxxfIxdyyfdxxf010)()(])()[()(1010dyyfdxxfxx.)()(21010Adyyfdxxf一、填空题:1、Ddyyxx)3(323________________.其中.10,10:yxD2、Ddyxx)cos(_______________.其中D是顶点分别为)0,0(，)0,(，),(的三角形闭区域.3、将二重积分Ddyxf),(,其中D是由x轴及半圆周)0(222yryx所围成的闭区域,化为先对y后对x的二次积分,应为_____________________.练习题4、将二重积分Ddyxf),(,其中D是由直线2,xxy及双曲线)0(1xxy所围成的闭区域,化为先对x后对y的二次积分,应为__________________________.5、将二次积分22221),(xxxdyyxfdx改换积分次序,应为_________________________.6、将二次积分xxdyyxfdxsin2sin0),(改换积分次序,应为_________________________.7、将二次积分2ln1),(2yedxyxfdy2)1(2112),(ydxyxfdy改换积分次序,应为__________________________.二、画出积分区域,并计算下列二重积分:1、Dyxde,其中D是由1yx所确定的闭区域.2、Ddxyx)(22其中D是由直线xyxyy2,2及所围成的闭区域.3、xDdyyxxy