2015数值分析(数值计算方法)试卷及答案

2015《《《《数值分析数值分析数值分析数值分析》》》》期末考试试卷参考答案期末考试试卷参考答案期末考试试卷参考答案期末考试试卷参考答案一、〖20分〗试写出试写出试写出试写出下列方程组下列方程组下列方程组下列方程组Axb=的的的的Jacobi迭代法和迭代法和迭代法和迭代法和Gauss-Seidel迭代法的计算公式迭代法的计算公式迭代法的计算公式迭代法的计算公式，，，，并判断它们的收敛性并判断它们的收敛性并判断它们的收敛性并判断它们的收敛性，，，，其中其中其中其中(1)104441084810A=，131125b=；(2)5212310142A=−−，12320b=。解解解解：：：：(1)J法计算公式：(1)()()123(1)()()213(1)()()312144131014811101482510kkkkkkkkkxxxxxxxxx+++=−−+=−−+=−−+其中：()(0)0,0,0Tx=，0,1,k=⋯。G-S法计算公式：(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312144131014811101482510kkkkkkkkkxxxxxxxxx++++++=−−+=−−+=−−+其中：()(0)0,0,0Tx=，0,1,k=⋯。注意到系数矩阵A为对称矩阵且三个顺序主子式：1100A=，2840A=，32960AA==，即A为对称正定阵，且A的主对角元素均大于0，从而G-S迭代法收敛；又因为[]1044241084810DA−−−=−−−−的三个顺序主子式中(2)2160DA−=−，可知2DA−不是正定阵，从而Jacobi迭代法发散。(2)若注意到交换第二和第三个方程，则原线性方程系数矩阵和常数向量变成5211422310B=−−，/12203b=类似于(1)可得J法计算公式：(1)()()123(1)()()213(1)()()3121212512241232010kkkkkkkkkxxxxxxxxx+++=−−+=−+=−++其中：()(0)0,0,0Tx=，0,1,k=⋯。G-S法计算公式：(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)3121212512241232010kkkkkkkkkxxxxxxxxx++++++=−−+=−+=−++其中：()(0)0,0,0Tx=，0,1,k=⋯。注意到，将方程组/Bxb=系数矩阵B为严格对角占优矩阵，因此Jacobi迭代法和G-S迭代法均收敛。二、〖〖〖〖20分分分分〗〗〗〗已知函数表如下已知函数表如下已知函数表如下已知函数表如下：：：：x01234y2.002.053.009.6034.00试用正交函数族的方法求其不超过两次的拟合多项式试用正交函数族的方法求其不超过两次的拟合多项式试用正交函数族的方法求其不超过两次的拟合多项式试用正交函数族的方法求其不超过两次的拟合多项式。。。。解解解解：：：：由0()1xϕ=，()()500115001,2,1iiixxϕϕαϕϕ=====∑∑，1()2xxϕ=−；()()()()521112521112,2,2iiiiixxxxϕϕαϕϕ==−===−∑∑，()()()52111250012,2,1iiixϕϕβϕϕ==−===∑∑，22()42xxxϕ=−+。从而可得()()50105001,50.6510.130,51iiiyyaϕϕϕ======∑∑，()()()()5111521112,7.155,2iiiiiyxyaxϕϕϕ==−===−∑∑()()()()5221252222142,3.882,42iiiiiiiyxxyaxxϕϕϕ==−+===−+∑∑因此可得()()()()00112222()()13.1307.15523.882423.8828.3753.584xaxaxaxxxxxxϕϕϕϕ=++=+−+−+=−+。三三三三、、、、〖〖〖〖20分分分分〗〗〗〗简述简述简述简述Romberg求积公式的基本思想及特点求积公式的基本思想及特点求积公式的基本思想及特点求积公式的基本思想及特点，，，，并对下列函数表计算并对下列函数表计算并对下列函数表计算并对下列函数表计算()fx在区间在区间在区间在区间[1,1]−的的的的Romberg求积公式的近似值求积公式的近似值求积公式的近似值求积公式的近似值。。。。x-1.0000-0.7500-0.5000-0.25000.00000.25000.50000.75001.0000()fx0.00000.66140.86600.96821.00000.96820.86600.66140.0000解解解解：：：：Romberg求积公式的基本思想及特点：以逐次分半复合梯形公式提供初值，并利用理查森（Richardson）外推法，购置出一种计算简便、收敛快速的数值积分方法；其特点就是利用精度不高的逐次分半复合梯形公式计算的初值，通过理查森外推法获取高精度的数值积分近似值。其外推的计算公式如下：(1)()()11441mkkkmmmmTTT+−−−=−其中：1,2,m=⋯，0,1,2,k=⋯。对于提供的数据表，利用逐次分半复合梯形公式公式可计算初值如下：()()(0)020.00002Tfafb=+=(1)(0)0011(0)1.0000,2TTf=+⋅=()(2)(1)00110.5(0.5)1.366022TTff=+−+=()()(3)(2)00110.75(0.25)(0.25)0.751.497824TTffff=+−+−++=再利用外推公式可得下面的计算过程表()0kT()11kT−()22kT−()33kT−00.000011.00001.333321.36601.48801.498331.49781.54171.54531.5468因此，所给数据表的Romberg求积公式的数值积分近似值为1.5554。四四四四、、、、〖〖〖〖20分分分分〗〗〗〗简述微分方程数值解中简述微分方程数值解中简述微分方程数值解中简述微分方程数值解中Runge-Kutta方法的基本思想及特点方法的基本思想及特点方法的基本思想及特点方法的基本思想及特点。。。。试列出试列出试列出试列出Runge-Kutta方法求解初值问题方法求解初值问题方法求解初值问题方法求解初值问题：：：：(0)1yyxy′=+=的基本步骤的基本步骤的基本步骤的基本步骤，，，，其中其中其中其中：：：：01x≤≤，，，，取取取取0.2h=。。。。解解解解：：：：微分方程数值解中Runge-Kutta方法的基本思想及特点：这是基于Euler法是通过计算一次
(,)的值而获得的1阶方法，及改进的Euler法是通过计算二次
(,)的值而获得的2阶方法的事实，通过计算多次
(,)的值的线性组合作为迭代值的修正项。采用Taylor展开的方法对迭代式两端作近似展开，要求等式两边关于步长ℎ从低次到高次项对应相等，以获取求解微分方程初值问题数值解的高阶方法，以提高数值解的精度。最常用的求微分方程数值解的Runge-Kutta方法即指经典的4阶Runge-Kutta方法。对于所给的微分方程初值问题，其四阶Runger-Kutta方法的迭代式如下：[]112340.2226nnyyKKKK+=++++其中：()()()1234,1.11.10.1,221.11.10.11.111.110.11,221.111.110.111.2221.2220.22.nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnKxyhhKxyxyxyhhKxyxyxyKxhyhxyxy=+=++++=++=+++++=++=+++++=++初值01y=迭代可计算得1y，2y，3y，4y，5y。五五五五、、、、〖〖〖〖20分分分分〗〗〗〗试简述试简述试简述试简述Jacobi方法求实对称矩阵的所有特征值与特征向量的原理和基方法求实对称矩阵的所有特征值与特征向量的原理和基方法求实对称矩阵的所有特征值与特征向量的原理和基方法求实对称矩阵的所有特征值与特征向量的原理和基本过程本过程本过程本过程。。。。解解解解：：：：基于实对称矩阵关于所有特征值构成的对角矩阵是正交相似等3个基本事实，展开Jacobi方法的简述，此略。