2015数学建模作业实验2

姓名：雷锋答:(1)该二阶微分方程可用一个二元微分方程组来表示00yx，该方程组的解就是00yx，故（0，0）点为微分方程ydtdyxdtdx的平衡点；在分析方程ydtdyxdtdx的稳定性之前，先分析线性微分方程组yaxadtdyyaxadtdx22211211的稳定性，将线性方程组写成Axdtdx，其中Tdtdydtdxdtdx),(，Tyxx),(，22122111aaaaA，因为0)det(A，故（0，0）是其唯一平衡点。设2）1-（)-det(A，可知特征值121，由于2p,1q,将计算结果对照课件中表2.1（平衡点与稳定性的各种情况），可知（0，0）点是不稳定的。绘出自治系统相应的轨线，并标出随t增加的运动方向，如下图所示：(2)该二阶微分方程可用一个二元微分方程组来表示020-yx，该方程组的解就是00yx，故（0，0）点为微分方程ydtdyxdtdx2-的平衡点；在分析方程ydtdyxdtdx2的稳定性之前，先分析线性微分方程组yaxadtdyyaxadtdx22211211的稳定性，将线性方程组写成Axdtdx，其中Tdtdydtdxdtdx),(，Tyxx),(，22122111aaaaA，因为0)det(A，故（0，0）是其唯一平衡点。设)2(）1（)-det(A，可知特征值2;121，由于1p,-2q,将计算结果对照课件中表2.1（平衡点与稳定性的各种情况），可知（0，0）点是不稳定的。绘出自治系统相应的轨线，并标出随t增加的运动方向，如下图所示：(3)该二阶微分方程可用一个二元微分方程组来表示020yx，该方程组的解就是00yx，故（0，0）点为微分方程xdtdyydtdx2的平衡点；在分析方程xdtdyydtdx2的稳定性之前，先分析线性微分方程组yaxadtdyyaxadtdx22211211的稳定性，将线性方程组写成Axdtdx，其中Tdtdydtdxdtdx),(，Tyxx),(，22122111aaaaA，因为0)det(A，故（0，0）是其唯一平衡点。设2)-det(2A，可知特征值i221，由于0p,2q,将计算结果对照课件中表2.1（平衡点与稳定性的各种情况），可知（0，0）点是不稳定的。绘出自治系统相应的轨线，并标出随t增加的运动方向，如下图所示：(4)该二阶微分方程可用一个二元微分方程组来表示020yx，该方程组的解就是00yx，故（0，0）点为微分方程ydtdyxdtdx2的平衡点；在分析方程ydtdyxdtdx-2-的稳定性之前，先分析线性微分方程组yaxadtdyyaxadtdx22211211的稳定性，将线性方程组写成Axdtdx，其中Tdtdydtdxdtdx),(，Tyxx),(，22122111aaaaA，因为0)det(A，故（0，0）是其唯一平衡点。设）2（）1（)-det(A，可知特征值-2；-121，由于3p,2q,将计算结果对照课件中表2.1（平衡点与稳定性的各种情况），可知（0，0）点是稳定的。绘出自治系统相应的轨线，并标出随t增加的运动方向，如下图所示：答：（1）营养的浓度能达到平衡。（2）已知KNRdtdN，令)(NfKNRdtdN；当0)(Nf时，得到的N为平衡解；故KRN（3）它是稳定的因为当KRt时，0)(Nf且0)(/Nf；当KRt时，0)(Nf且0)(/Nf，如下图所示，在KRN处稳定。答：根据题意设在t时刻，病菌数量为）（Nt,病菌增长率为1，死亡率为2，当0t时，0)0(N;由此可以建立微分方程，如下所示0)0(2121NNNdtdN令2121)(NNxf，当0)(xf时，计算其平衡点2121N，02N下图画出了）（N/t的符号取值范围和）（Nt的变化趋势；根据题意可知，细菌数量N不可能小于0，当2120N时，0)(/tN，当212N时，0)(/tN；因此，根据图示可以判断，02N是稳定的，2121N不是稳定的。答：令ExxNxrxf)1()(，计算0)(xf时的平衡点；得到平衡点)1(0rENx，01x；计算xNrErNrxENxrrxf2)()(/；分别将0x和1x带入)(/xf后得到0)1(2)(0/rErErErxf0)(1/Erxf由此可以判断出平衡点1x处是稳定的，平衡点0x是不稳定的；由于)()()(xhxgxf，且xNxrxg)1()(;计算)21()1()1()(/NxrNrxNxrxg；当0x时，rxg)(/，因此可知在)(xg曲线的零点位置，其切线斜率为r;已知rE,故必存在平衡点；令0)(/xg，计算得到2Nxm；将其带入xNxrxg)1()(，可得4)(rNxg；将4)(rNxg和2Nxm带入Exxgxf)()(；计算可得最优捕捞率rE21答：根据题意可知渔场鱼量自然增长的模型xNrxxln)(g，减去相应的捕捞量后的鱼量为ExxNrxxhxgxfln)()()(；这里并不需要解方程)(xf以得到x(t)的动态变化过程,只希望知道渔场的稳定鱼量和保持稳定的条件,即时间t足够长以后渔场鱼量x(t)的趋向,并由此确定最大持续产量.为此可以直接求方程)(xf的平衡点并分析其稳定性令0)(xf,计算其平衡点rEeNx0；计算)(/xfErxNrln,将0x带入后得到，0)(/rxf，故平衡点rEeNx0是稳定的。这说明只要捕捞适度，就可以让渔场的鱼量稳定在rEeNx0，应用图解法：、由图可知，当h（x）和g（x）在)x(gy的顶部相交时，可以获得最大的持续产量。令)(/xf0lnErxNr，得到稳定时的平衡点eNx；带入到xNrxxhln)(中，得到erNxNrxhmln将eNx带入到rEeNx0，计算保持渔场鱼量稳定在x的捕捞强度为rE答：该二阶微分方程可用一个二元微分方程组来表示010122112222211111xbxbcaxxbxbcax；将该二元微分方程组展开并整理得到方程组如下所示：0-0-222221212222211221111111xcbxxcbxcxaxxcbxcbxcxa计算该方程组，求得平衡解如下：)0,0(1p),0(22222bcacp)0,(11113cbacp1、对于平衡点)0,0(1p，由于)21()21(-221122111222221111xbxbcaxcbxcbxbxbcaA221100cacaA计算得到2211--cacap，)()(2211cacaq由于11ac，22ac，故0p且0q由定理2.2可知，平衡点)0,0(1p是不稳定的。（1）对于平衡点),0(22222bcacp，由于)21()21(-221122111222221111xbxbcaxcbxcbxbxbcaA带入平衡点可得2222221210-cacaccaacA2222121-accaccap,2222121))((ccacaacq已知11ac，22ac，如果2211caca，那么得到0p且0q。根据定理2.2可知，当0p且0q时，平衡解是稳定的，则当t时，0)(1tx。（2）对于平衡点)0,(11113cbacp，由于)21()21(-221122111222221111xbxbcaxcbxcbxbxbcaA带入平衡点可得121211110ccaacacaA）（-1122111ccacacap,))((1111221ccacacaq已知11ac，22ac，如果2211caca，那么得到0p且0q。根据定理2.2可知，当0p且0q时，平衡解是稳定的，则当t时，0)(2tx。（3）用图形分析方法解释上述情况：由于平衡点)0,0(1p是不稳定的，故只考虑),0(22222bcacp)0,(11113cbacp对于线性方程组0101221122221111xbxbcaxbxbca在平面上代表2条直线1L和2L，其中1L和2L分别对应如下：1L：0112211111xbxbca2L：0122221122xbxbca上式中11x和21x代表直线1L在平面图横轴和竖轴的坐标；21x和22x代表直线2L在平面图横轴和竖轴的坐标。当纵坐标2x为0时，计算得111111cbacx，212212cbacx；当纵坐标2x为0时111112cbacx222222cbacx；第一种情况：令1211xx且2212xx，得到2121acca，将第一区域分为3个部分，如图所示:在区域I中，01dtdx，02dtdx，即)(),(21txtx随着t的增加而增加，并且当经过直线2L时，有0)(/tx，所以12dxdx，即切线是垂直的，也就是说，相轨曲线)(122xxx是以垂直方向进入到区域II。在区域III中，01dtdx，02dtdx，即)(),(21txtx随着t的增加而减少，并且当经过直线1L时，有0)(/tx，所以012dxdx，即切线是水平的，也就是说，相轨曲线)(122xxx是以水平方向进入到区域II。在区域II中，01dtdx，02dtdx，即)(1tx随着t的增加而减小，)(2tx随着t的增加而增加，1x最终趋于0，2x最终趋于1112cbcc。第二种情况：令1211xx且2212xx，得到2121acca，将第一区域分为3个部分，如图所示:在区域I中，01dtdx，02dtdx，即)(),(21txtx随着t的增加而增加，并且当经过直线2L时，有0)(/tx，所以012dxdx，即切线是水平的，也就是说，相轨曲线)(122xxx是以水平方向进入到区域II。在区域III中，01dtdx，02dtdx，即)(),(21txtx随着t的增加而减少，并且当经过直线1L时，有0)(/tx，所以12dxdx，即切线是垂直的，也就是说，相轨曲线)(122xxx是以垂直方向进入到区域II。在区域II中，01dtdx，02dtdx，即)(1tx随着t的增加而增加，)(2tx随着t的增加而减小，1x最终趋于1111cbac，2x最终趋于0。解：先建立描述微分方程组的外部函数，文件名为：lorenz.mfunctionxdot=lorenz(t,x)xdot=[-8/3*x(1)+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);-x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3)];再调用ode45()求解。输入：[t,x]=ode45(@lorenz,[0100],[001e-10]);plot(x(:,2),x(:,1))plot(x(:,2),x(:,3))plot(x(:,3),x(:,1))10、28