整式及其混合运算

整式【课标要求】1．在现实情景中进一步理解用字母表示数的意义．2．能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示．3．能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义．4．会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算．5．能够熟练地通过合并同类项、去括号对代数式进行化简计算．6．了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘、除运算．7．了解同底数指数幂的意义和基本性质．8．会推导乘法公式22))((bababa；2222)(bababa，了解公式的几何背景，并能进行简单的计算．【中考动向】近年来，本讲内容除出现在常见的选择、填空题中外，也常出现在化简求值题中，是中考的必考内容，在试卷中主要分布在低中档题目中．【知识网络图】第1课时整式的概念【知识要点】1.用字母可以表示任何数，也可以直观的表示运算律和公式．2.代数式的概念、书写和意义．3.代数式的表示和求值．4.单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，它的数字因数为该单项式的系数，如：单项式－2a2b3的系数为－2．5.多项式：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做它的一个项，它的次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数.如：－7＋4y2－3y有三项，次数为2．6.整式：单项式和多项式统称为整式．整式单项式多项式加减法同底数幂相乘同底数幂相除运算律运算法则合并同类项去括号积的乘方幂的乘方单项式相乘单项式乘以多项式多项式乘以多项式乘法公式单项式除以单项式多项式除以单项式【典型例题】例1在矩形纸片上截去四个面积相等的小正方形，小正方形的边长为c，如图所示，求阴影部分的面积和周长．解：⑴面积：24cab⑵周长：)(2ba例2某礼堂座位的排数与每排的座位数的关系如下表：排数12345…座位数1919＋219＋419＋619＋8…⑴写出用排数m表示座位数n的公式；⑵利用⑴题中的公式计算当排数为19排时的座位数．解：⑴用排数m表示座位数n的公式是：)1(219mn⑵当m=19时，n=)119(21955（个）答：当排数为19排时，座位数为55个．例3当x=2时，代数式73bxax的值等于－19，求当x=－2时代数式的值．解：∵当x=2时，1973bxax则将x=2代入1973bxax得1228ba∴将x=－2代入73bxax得：72873babxax（7)28ba5∴当x=－2时，代数式73bxax的值等于5．例4下列式子中那些是单项式，那些是多项式？3xy，5a，－34xy2z，a，x－y，1x，0，3.14，－m，－m+1．解：单项式：3xy，5a，－34xy2z，a，0，3.14，－m．多项式：x－y，－m+1．【知识运用】一、选择题1．下列各式是代数式的个数有（）．（1）ab=ba（2）2a+3b（3）1+3+17（4）2RSA．5B．4C．3D．22．若－32xmy2是6次单项式，则正整数m的值是（）A．6B．4C．3D．23．多项式2x3－x2y2+y3+25的次数是（）图3－1－1abA．二次B．三次C．四次D．五次4．（2007．荆门）如图3－1－2，阴影部分的面积是（）A．112xyB．132xyC．6xyD．3xy二、填空题5．代数式3ab可表示的实际意义是_______________．6．下列各式－25x2，12（a+b）c，3xy，0，233a，－5a2+a中，是多项式的有．7．如图3－1－3是由边长为a和b的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算下图中阴影部分的面积，可以验证的一个公式是.三、解答题8．若312aa，求代数式3131312aa的值．9．如图3－1－4，矩形花园ABCD中，AB=a，AD=b，花园中建有一条矩形道路LMPQ及一条平行四边形道路RSTK，若LM=RS=c，求花园中可绿化部分的面积．10．已知：如图3－1－5，现有aa、bb的正方形纸片和ab的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片至少用一次）在下面的虚线方框中拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使拼出的矩形面积为22252aabb，并标出此矩形的长和宽．第2课时整式的加减图3－1－4ABQPDSRLMKTC3x2yy0.5x图3－1－2图3－1－3aa－bbbaaabbb图3－1－5【知识要点】1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.2．合并同类项：把同类项合并成一项就叫做合并同类项.3．去括号：若括号前是“+”号，则去掉括号后，括号里边的各项不变号；若括号前是“－”号，则去掉括号后，括号里边的各项均变号.4．整式的加减：实质上是去括号后合并同类项，运算结果是一个多项式或一个单项式．【典型例题】例1先合并同类项，再求值：－3x2y＋2x2y2＋8x2y－7x2y2＋3，其中x=1，y=2．解：原式=（－3＋8）x2y＋（2－7）x2y2＋3=5x2y－5x2y2＋3当x=1，y=2时原式=5×12×2－5×12×22+3=10－20+3=－7例2已知2a2xb3y与–3a2b2-x是同类项，求2x+y2的值．解：∵2a2xb3y与–3a2b2-x是同类项∴xyx2322由①得x=1③将③代入②得y=13∴2x+y2=2×1+（13）2=2+19=199例3计算：5abc－｛2a2b－［3abc－（4ab2－a2b）］+3abc｝解：原式=5abc－［2a2b－（3abc－4ab2+a2b）+3abc］=5abc－（2a2b－3abc+4ab2－a2b+3abc）=5abc－（a2b+4ab2）=5abc－a2b－4ab2例4已知x+y=－5，xy=6，求（－x－3y－2xy）－（－3x－5y+xy）的值.解：（－x－3y－2xy）－（－3x－5y+xy）=－x－3y－2xy+3x+5y－xy=2x+2y－3xy=2（x+y）－3xy将x+y=－5，xy=6代入，则原式=2×（－5）－3×6=－10－18=－28例5已知A=x3－5x2，B=x2－11x+6，求2A－3B解：2A－3B=2（x3－5x2）－3（x2－11x+6）=2x3－10x2－3x2+33x－18=2x3－13x2+33x－18［知识运用］一、选择题①②1．若2nxy与23yx是同类项，则n的值是（）A．1B．3C．1D．22．已知a=－（－2）2，b=－（－3）3，c=－（－42），则－［a－（b－c）］的值是（）A．15B．7C．－39D．473．(2008．广州)若实数a、b互为相反数，则下列等式中恒成立的是（）A.0abB.0abC.1abD.1ab4．下列去括号中，错误的是（）A．3x2－（x－2y＋5z）=3x2－x＋2y－5zB．5a2＋（－3a－b）－（2c－d）=5a2－3a－b－2c＋dC．－3（x＋6）＋3x2=－3x－6＋3x2D．－（x－2y）－（－x2＋y2）=－x＋2y＋x2－y2二、填空题5．不论a，b取何值，代数式－13ab2＋56ab2－12b2a的值都等于0．6．化简2x2－2［3x－2（－x2＋2x－1）－4］=．7．已知（a+b）2+12b=0，则ab－［2ab－3（ab－1）］=．三、解答题8．已知3x5+ay2和－5x3yb+1是同类项，求代数式3b4－6a3b－4b4＋2ba3的值．9．已知A＝a＋2，B＝a2－a＋5，C＝a2＋5a－19，其中a＞2．（1）求证：B－A＞0，并指出A与B的大小关系；（2）指出A与C哪个大？说明理由．10．（2007．孝感）二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，且P=|a－b＋c|＋|2a＋b|，Q=|a＋b＋c|＋|2a－b|，试比较P、Q的大小．第3课时整式的乘除［知识要点］图3－2－11.同底数幂的乘法法则：am﹒an=am+n（m，n都是正整数）同底数幂的乘法的逆运算：am+n=am﹒an（m，n都是正整数）2.幂的乘方法则：（am）n=（an）m=amn（m，n都是正整数）幂的乘方的逆运算：amn=（am）n=（an）m（m，n都是正整数）3.积的乘方法则：（ab）n=anbn（n为正整数）积的乘方的逆运算：anbn=（ab）n（n为正整数）4.同底数幂的除法法则：am÷an=am-n（a≠0，m，n都是正整数，且m＞n）同底数幂的除法的逆运算：am-n=am÷an（a≠0，m，n都是正整数，且m＞n）5.零次幂和负整数指数幂的意义：（1）a0=1（a≠0）(2)ppaa1（a≠0，p为正整数）6.单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．7.单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．8.多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．9.平方差公式：（a+b）（a－b）=a2－b2公式也可逆用：a2－b2=（a+b）（a－b）10.完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2公式也可逆用：a2±2ab+b2=（a±b）211.单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式.12.多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.13.探求规律：学会科学的思维方法，探求数量和图形的变化规律.［典型例题］例1计算：（am）2﹒（a3）m+2﹒a4m解：原式=a2m﹒a3（m+2）﹒a4m=a2m﹒a3m+6﹒a4m=a2m+3m+6+4m=a9m+6例2计算：（xm﹒x2n）3÷xm+n﹒［(x－y)m］0(x≠y)解：原式=（x3m﹒x6n）÷xm+n﹒1=x3m+6n÷xm+n=x)()63(nmnm=x2m+5n例3计算：2x2﹒（12xy2－y）－（x2y2－xy）﹒（－3x）解：原式=2×12x2﹒xy2－2x2y+3x﹒x2y2－3x﹒xy=x3y2－2x2y+3x3y2－3x2y=4x3y2－5x2y例4计算：（x－y+1）（x+y－1）解：原式=［x－（y－1）］［x+（y－1）］=x2－（y－1）2=x2－（y2－2y+1）=x2－y2+2y－1例5已知a+b=7，ab=2，求a2+b2的值解：∵（a+b）2=a2+2ab+b2∴a2+b2=（a+b）2－2ab=72－2×2=49－4=45例6［（x+2y）（x－2y）+4（x－y）2］÷6x解：原式=［x2－4y2+4（x2－2xy+y2）］÷6x=（x2－4y2+4x2－8xy+4y2）÷6x=（5x2－8xy）÷6x=56x－43y［知识运用］一、选择题1．(2008.宿迁)下列计算正确的是A．623aaaB．632)(aaC．32532aaaD．332323aaa2．（2009.枣庄）若m+n=3，则222426mmnn的值为（）Ａ．12Ｂ．6Ｃ．3Ｄ．03．(2008．东营)下列计算结果正确的是A．4332222yxxyyxB．2253xyyx=yx22C．xyyxyx4728324D．49)23)(23(2aaa4.（2009.台州）若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如abc就是完全对称式.下列三个代数式：①2ab；②cabcab；③accbba222．其中是完全对称式的是()A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题5．－82005×（－0.125）2006=6．已知a－b=b－c=35,a2＋b2＋c2=1则ab＋bc＋ca的值等于.7．若整式142Qx是完全平方式，请你写一个满足条件的单项式Q是.8.观察下面一列数的规律，并填空：0，3，8，