【创新方案】2015高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)平面向量的概念及其线性运算 理

-1-第一节平面向量的概念及其线性运算【考纲下载】1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共线的判定定理和性质定理(1)向量共线的判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线，即b＝λa(a≠0)⇒a∥b.(2)向量共线的性质定理：若b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa，即a∥b(a≠0)⇒b＝λa.-2-1．两向量共线与平行是两个不同的概念吗？两向量共线是指两向量的方向一致吗？提示：方向相同或相反的一组非零向量，叫做平行向量，又叫共线向量．显然两向量平行或共线，其方向可能相同，也可能相反．2．两向量平行与两直线(或线段)平行有何不同？提示：平行向量也叫共线向量，这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上．3．λ＝0与a＝0时，λa的值是否相等？提示：相等，且均为0.4．当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立吗？提示：成立．1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量解析：选C若a与b都是零向量，则a＝b，故选项C正确．2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k()A．共线B．不共线C．共线且同向D．不一定共线解析：选D可举特例，当n＝0时，满足m∥n，n∥k，故A、B、C选项都不正确，故D正确．3．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()A．－BC＋12BAB．－BC－12BAC．BC－12BAD．BC＋12BA解析：选A如图，由于D是AB的中点，所以CD＝CB＋BD＝CB＋12BA＝－BC＋12BA4．(教材习题改编)化简OP－QP＋MS－MQ的结果为________．解析：OP－QP＋MS－MQ＝(OP＋PQ)＋(MS－MQ)＝OQ＋QS＝OS.答案：OS5．已知a与－b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ的值为________．解析：∵a＋λb与－(b－3a)共线，∴存在实数μ，使a＋λb＝μ(3a－b)，即1＝3μ，λ＝－μ，∴μ＝13，λ＝－13.答案：－13-3-考点一向量的概念[例1]给出下列四个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；②若AB＝DC，则四边形ABCD为平行四边形；③若a与b同向，且|a||b|，则ab；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中假命题的个数为()A．1B．2C．3D．4[自主解答]①不正确．|a|＝|b|但a，b的方向不确定，故a，b不一定相等；②不正确．因为AB＝DC，A，B，C，D可能在同一直线上，所以ABCD不一定是四边形；③不正确．两向量不能比较大小；④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．[答案]D【方法规律】解决向量的概念问题应关注五点(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(5)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是a方向上的单位向量.下列说法中错误的是()A．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B．若向量a和b不共线，则a和b都是非零向量C．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D．方向相反的两个非零向量必不相等解析：选C选项A中向量与有向线段是两个完全不同的概念，故正确；选项B中零向量与任意向量共线，故a，b都是非零向量，故正确；选项C中是共线向量，故错误；选项D中既然方向相反就一定不相等，故正确．高频考点考点二平面向量的线性运算1．平面向量的线性运算是每年高考的重点，题型多为选择题和填空题，难度较小，属中低档题．2．高考对平面向量的线性运算的考查主要有以下几个命题角度：(1)考查向量加法或减法的几何意义；(2)求已知向量的和；(3)与三角形联系，求参数的值；(4)与平行四边形联系，研究向量的关系．[例2](1)(2012·辽宁高考)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是()A．a∥bB．a⊥b-4-C．|a|＝|b|D．a＋b＝a－b(2)(2011·四川高考)如图，正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B．BEC．ADD．CF第(2)题图第(3)题图(3)(2013·四川高考)如图在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝________.(4)(2013·江苏高考)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．[自主解答](1)法一：(代数法)将原式平方得|a＋b|2＝|a－b|2，∴a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，∴a·b＝0，∴a⊥b.法二：(几何法)如图所示：在▱ABCD中，设AB＝a，AD＝b，∴AC＝a＋b，DB＝a－b，∵|a＋b|＝|a－b|，∴平行四边形两条对角线长度相等，即平行四边形ABCD为矩形，∴a⊥b.(2)因六边形ABCDEF是正六边形，故BA＋CD＋EF＝DE＋CD＋EF＝CE＋EF＝CF.(3)由平行四边形法则，有AB＋AD＝AC＝AO，已知AB＋AD＝λAO，所以λ＝2.(4)DE＝DB＋BE＝12AB＋23BC＝12AB＋23(AC－AB)＝－16AB＋23AC，∵DE＝λ1AB＋λ2AC，∴λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.[答案](1)B(2)D(3)2(4)12平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合平行四边形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)与三角形联系，求参数的值．求出向量的和或与已知条件中的和式比较，然后求参数．(4)与平行四边形联系，研究向量的关系．画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．1．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC＝a，BD＝b，则AF等于()-5-A.14a＋12bB.23a＋13bC.12a＋14bD.13a＋23b解析：选B如图，AF＝AD＋DF，由题意知，DE∶BE＝1∶3＝DF∶AB，故DF＝13AB，则AF＝12a＋12b＋1312a－12b＝23a＋13b.2．若O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA＋OB＋OC＝0，那么()A．AO＝ODB．AO＝2ODC．AO＝3ODD．2AO＝OD解析：选A因为D是BC边的中点，所以有OB＋OC＝2OD，所以2OA＋OB＋OC＝2OA＋2OD＝2(OA＋OD)＝0⇒OA＋OD＝0⇒AO＝OD.3．(2014·萍乡模拟)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若AO＝xAB＋(1－x)AC，则x的取值范围是()A.0，12B.0，13C.－12，0D.－13，0解析：选D设CO＝yBC，∵AO＝AC＋CO＝AC＋yBC＝AC＋y(AC－AB)＝－yAB＋(1＋y)AC，∵BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，∴y∈0，13，∵AO＝xAB＋(1－x)AC，∴x∈－13，0.考点三共线向量定理的应用[例3]设两个非零向量e1和e2不共线．(1)如果AB＝e1－e2，BC＝3e1＋2e2，CD＝－8e1－2e2，求证：A，C，D三点共线；(2)如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1－3e2，AF＝3e1－ke2，且A，C，F三点共线，求k的值．[自主解答](1)证明：AB＝e1－e2，BC＝3e1＋2e2，∴AC＝AB＋BC＝4e1＋e2，又CD＝－8e1－2e2，∴CD＝－2AC，∴AC与CD共线．又∵AC与CD有公共点C，∴A，C，D三点共线．(2)∵AB＝e1＋e2，BC＝2e1－3e2，∴AC＝AB＋BC＝3e1－2e2.∵A，C，F三点共线，∴AC∥AF，从而存在实数λ，使得AC＝λAF.∴3e1－2e2＝3λe1－λke2，又e1，e2是不共线的非零向量，∴3＝3λ，－2＝－λk，因此k＝2.∴实数k的值为2.【互动探究】在本例条件下，试确定实数k，使ke1＋e2与e1＋ke2共线．解：∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，-6-即ke1＋e2＝λe1＋λke2，∴k＝λ，1＝λk，解得k＝±1.【方法规律】1．共线向量定理的应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．(2)若a，b不共线，则λa＋μb＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB＝λAC，则A、B、C三点共线．若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，13(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？解：∵a，tb，13(a＋b)三向量的终点在同一条直线上，且a与b起点相同．∴a－tb与a－13(a＋b)共线，即a－tb与23a－13b共线，∴存在实数λ，使a－tb＝λ23a－13b，∴1＝23λ，t＝13λ，解得λ＝32，t＝12，即t＝12时，a，tb，13(a＋b)三向量的终点在同一条直线上．———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————个规律——向量加法规律一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即12AA＋23AA＋34AA＋…＋1nnAA＝1nAA.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．个结论——向量的中线公式及三角形的重心(1)向量的中线公式若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则OP＝12(OA＋OB)．(2)三角形的重心已知平面内不共线的三点A、B、C，PG＝13(PA＋PB＋PC)⇔G是△ABC的重心．特别地，PA＋PB＋PC＝0⇔P为△ABC的重心．个等价转化——与三点共线有关的等价转化A，P，B三点共线⇔AP＝λAB(λ≠0)⇔OP＝(1－t)OA＋tOB(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔OP＝xOA＋yOB(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．个注意点——向量线性运算应注意的问题(1)作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；(2)向量共线的充要条件中要注意“a