多尺度法论文郑国金

长春工业大学学士论文第1页共24页摘要非线性振动理论在工程科学中有着广泛的应用，同时从非线性振动中提出的一些数学模型，例如：Duffing方程，vanderpol方程和Mathieu方程，在非线性动力学理论中占有很重要的地位。本文应用了多尺度方法对小参数非线性微分方程求近似解。同时这也是全文的核心。全文共分四章。首先，第一章叙述了分线性振动的由来，分类和特点，对振动现象的普遍存在进行了系统的描述。第二章非线性振动理论的研究方法简单介绍了解析法和小参数的引入，并着重叙述了近似解析法中的一种常用的方法—多尺度法。第三章运用多尺度法求一类非线性微分方程的近似解。最后一章结束语总结全文，述说本文的写作感受。全文重点在二，三章，详细说明多尺度法，利用多尺度法通过对非线性微分方程近似解的求导，解出近似解。关键词：非线性振动，多尺度法，稳定性，周期解，长春工业大学学士论文第2页共24页AdjusttoreachagreementofdealyVanderPolequationAbstractTheoryofnonlinearvibrationcanbeapplybroadlyintheengineeringsciencefield,andsomemathematicalmodeladvancefromnonlinearvibration,forexample:Duffingequation,VanderpolequationandMathieuequation,itlayholdonveryimportantplaceinthetheoryofnonlinearvibrationfield.Thediscoursebroadmultiplesizemethodforlittleparameternonlineardifferentialequationcountproximatedisentangle.Anditiscoreofthediscourse.Thediscoursehavefourchapters.Thefirst,Thefirstchapternarrativecauseofnonlinearvibration,classificationandspeciallycharacteristic,forvibrationphenomenauniversalpresenceongoingsystemicdepict.Thesecondchapterinvestigationmethodintheoryofnonlinearvibrationsimpleintroduceanalyzemethodanddrawintolittleparameter,andemphasizestateacommonlyusemethodinproximateanalyzemethodinvestigationmethod------multiplesizemethod.Thethirdchapteralonedegreeoffreedomcompulsoryvibrationproximatedisentanglediscussmakeuseofmultiplesizemethoddisentanglespecialnonlineardifferentialinresonanceandnoresonancetwocasesproximatedisentangle.Thelastchaptertallyupfulltext,recountwritingfeelfulltext.Theimportantpointofthefulltextinthesecondchapterandthethirdchapter,elaborateonmultiplesizemethod，andmakeuseofpassnonlineardifferentialproximatedisentangleproximateconsequencehavetoouttherelationtypeofthesystemamainfactor,combinationsketch,forexamplenoresonancephenomenon,secondresonancephenomenon，Beyondharmonicwaveresonanceandsecondharmonicwaveresonance.Keywords：proximatedisentangle,nonlinearvibration,multiplesizemethod,mainresonance，长春工业大学学士论文第3页共24页目录摘要...........................................1Abstract............................................2一、引言............................................5（一）非线性问题研究的历史概况....................5（二）、非线性问题的研究...........................5（三）、线性与非线性的意义.........................5二、预备知识.......................................6（一）、渐进解析法.................................61.1摄动法........................................61.1.1Poincare法..............................61.1.2Poincare-Lindstedt法....................71.2平均法........................................81.2.1KB法.....................................81.3KBM法（渐进法）.............................101.3.1渐进解的一般形式.......................101.4多尺度法.....................................121.4.1方法的一般描述........................131.4.2自治系统..............................14三、无限传输方程的近似解...........................16（一）稳定性分析...............................16长春工业大学学士论文第4页共24页（二）近似周期解.................................18参考文献...........................................24长春工业大学学士论文第5页共24页一、引言（一）、非线性问题研究的历史概况非线性科学是一门研究非线性现象共性的基础学科。它是自本世纪六十年代以来，在各门以非线性为特征的分支学科的基础上逐步发展起来的综合性学科，被誉为本世纪自然科学的“第三次革命”。非线性科学几乎涉及了自然科学和社会科学的各个领域，并正在改变人们对现实世界的传统看法。科学界认为：非线性科学的研究不仅具有重大的科学意义，而且对国计民生的决策和人类生存环境的利用也具有实际意义。由非线性科学所引起的对确定论和随机论、有序与无序、偶然性与必然性等范畴和概念的重新认识，形成了一种新的自然观，将深刻地影响人类的思维方法，并涉及现代科学的逻辑体系的根本性问题。（二）、非线性问题的研究非线性问题的“个性”很强，处理起来十分棘手。历史上曾有过一些解非线性方程的“精品”，但与大量存在的非线性方程相比，只能算是“凤毛麟角”。因此，长期以来，对非线性问题的研究一直分散在自然科学和技术科学的各个领域。本世纪六十年代以来，情况发生了变化。人们几乎同时从非线性系统的两个极端方向取得了突破：一方面从可积系统的一端，即从研究多自由度的非线性偏微分方程的一端获得重大进展。如在浅水波方程中发现了“孤子”，发展起一套系统的数学方法，如反散射法，贝克隆变换等，对一些类型的非线性方程给出了解法；另一方面，从不可积系统的极端，如在天文学、生态学等领域对一些看起来相当简单的不可积系统的研究，都发现了确定性系统中存在着对初值极为敏感的复杂运动。促成这种变化的一个重要原因十计算机的出现和广泛应用。科学家们以计算机为手段，勇敢地探索那些过去不能用解析方法处理的非线性问题，从中发掘出规律性的认识，并打破了原有的学科界限，从共性、普适性方面来探讨非线性系统的行为。（三）、线性与非线性的意义“线性”与“非线性”是两个数学名词。所谓“线性”是指两个量之间所存在的正比关系。若在直角坐标系上画出来，则是一条直线。由线性函数关系描述的系统叫线性系统。在线性系统中，部分之和等于整体。描述线性系统的方程遵从叠加原理，即方程的不同解加起来仍然是原方程的解。这是线性系统最本质的特征之一。“非线性”是指两个量之间的关系不是“直线”关系，在直角坐标系中呈一条曲长春工业大学学士论文第6页共24页线。最简单的非线性函数是一元二次方程即抛物线方程。简单地说，一切不是一次的函数关系，如一切高于一次方的多项式函数关系，都是非线性的。由非线性函数关系描述的系统称为非线性系统。二、预备知识在一类非线性系统的研究中，主要分两种类型的研究方法。一类是非线性系统的定性分析，另一类是非线性系统的近似解析方法。近似解析解是对非线性系统做定量的分析，由于可求出精确解析解的非线性系统极少，因此只能采用近似解得方法。在这里我们主要介绍具有确定性系数的非线性振动方程周期解的经典方法，重点叙述摄动法、平均法、KBM法和多尺度法，从这些方法中可得出进一步的结果。本章还通过一些著名上的实例阐明了非线性振动的特有的动力学行为，其中一些主要概念在研究分叉和浑沌运动时也将被应用。（一）、渐进解析法1.1摄动法摄动法又称小参数法。它处理含小参数的系统，一般当0时可求得解0x。于是可把原系统的解展成的幂级数2012xxxx若这个级数当0时一致收敛，则称正则摄动，否则；称奇异摄动。摄动法的种类繁多，本节介绍最基本的Poincare-Lindstedt方法。1.1.1Poincare法考虑含小参数的非线性系统20(,)xfxxx（1.1.1）其中f是关于x和x的解析函数。当0时（1.1.1）有解00cos()xat（1.1.2）当0时把解写成0()()(;)iiixtxtxt（1.1.3）长春工业大学学士论文第7页共24页将(;)xxt代入（1.1.1），并将((;),(;))ffxtxt在0处展成的幂级数，比较系数可求得解(;)xt。1.1.2Poincare-Lindstedt法考虑到系统（1.1.1）的振动频率通常不是常数。本方法是引入新变量，作变换t（1.1.6）来求对的周期解。将和x展开为小参数的幂级数2012（1.1.7）2012()()()xxxx（1.1.8）其中()x为周期函数，i为待定常数。注意到dxxxdt，2222dxxxd，利用变换关系（1.1.6）及以上和x的展开式，代入方程（1.1.1）后，可得()ix所满足的各阶方程20002:0dxxd（1.1.9a）22201100012:()2dxdxxfdd(1.1.9b)2220002120112:()fffdxdxxxdxdx222010210122(2)2dxdxdd