【创新方案】2015届高考数学一轮复习(回扣主干知识+提升学科素养)第八章 第三节 圆的方程教案 文

1第三节圆的方程【考纲下载】1．掌握确定圆的几何要素．2．掌握圆的标准方程与一般方程．1．圆的定义、方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)圆心C的坐标(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要条件：D2＋E2－4F0圆心坐标：－D2，－E2半径r＝D2＋E2－4F22．点与圆的位置关系(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系．(2)三个结论圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上；②(x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆外；③(x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆内．1．确定圆的方程需要几个独立条件？提示：由圆的标准方程(或一般方程)知：确定圆的方程需要三个独立条件．2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圆吗？提示：不一定．当D2＋E2－4F0时，上述方程才表示圆；当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点－D2，－E2；当D2＋E2－4F0时，方程不表示任何图形．1．(教材习题改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3)B．(－2,3)C．(－2，－3)D．(2，－3)解析：选D圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)．2．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()A．x＋y－1＝0B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0D．x－y＋3＝0解析：选C将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线必定过圆心，而圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0的圆心坐标为(1,2)，且(1,2)在直线x－y＋1＝0上．3．若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则a的取值范围是()2A．－1a1B．0a1C．－1a15D．－15a1解析：选A∵点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，∴(2a)2＋a25，解得－1a1.4．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是____________．解析：因为x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，所以a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＝5a2－8a2－4a＋4＝－3a2－4a＋40.解得－2a23.答案：－2，235．(教材习题改编)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为__________________．解析：设圆心坐标为(a,0)，依题意得(a－5)2＋12＝(a－1)2＋32，解得a＝2，所以圆心坐标为(2,0)，半径r＝－2＋1＝10，即圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.答案：(x－2)2＋y2＝10前沿热点(十)高考中与圆有关的交汇问题1．圆的定义及其标准方程，与圆有关的轨迹问题，点与圆的关系、点与圆的距离，在高考中常常将它们综合在一起命制试题．2．求圆的方程往往需要三个独立的条件即可求出，求与圆有关的轨迹方程经常考虑直接法、定义法、相关点法等．涉及点与圆的距离问题，经常转化为点与圆心的距离问题等．[典例](2013·新课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为23.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若点P到直线y＝x的距离为22，求圆P的方程．[解题指导](1)利用圆在两坐标轴上截得的线段的长，分别得出半径的表达式，利用半径相等即可求得方程；(2)依据(1)及点P到直线y＝x的距离可求出点P的坐标，进而求得半径，得出圆的方程．[解](1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.从而y2＋2＝x2＋3.故点P的轨迹方程为y2－x2＝1.(2)设P(x0，y0)．由已知得|x0－y0|2＝22.又点P在双曲线y2－x2＝1上，从而得|x0－y0|＝1，y20－x20＝1.由x0－y0＝1，y20－x20＝1，得x0＝0，y0＝－1.此时，圆P的半径r＝3.3由x0－y0＝－1，y20－x20＝1，得x0＝0，y0＝1.此时，圆P的半径r＝3.故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.[名师点评]解决本题的关键有以下两点：(1)注意圆心与弦的中点的连线与弦垂直；(2)注意点P满足两个条件：一是点P在曲线x2－y2＝1上；二是点P到直线y＝x的距离为22.(2013·福建高考)如图，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.(1)若点C的纵坐标为2，求|MN|；(2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圆C的半径．解：(1)抛物线y2＝4x的准线l的方程为x＝－1.由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1,2)，所以点C到准线l的距离d＝2.又|CO|＝5，所以|MN|＝2|CO|2－d2＝25－4＝2.(2)设Cy204，y0，则圆C的方程为x－y2042＋(y－y0)2＝y4016＋y20，即x2－y202x＋y2－2y0y＝0.由x＝－1，得y2－2y0y＋1＋y202＝0，设M(－1，y1)，N(－1，y2)，则Δ＝4y20－41＋y202＝2y20－40，y1y2＝y202＋1.由|AF|2＝|AM|·|AN|，得|y1y2|＝4，所以y202＋1＝4，解得y0＝±6，此时Δ0.所以圆心C的坐标为32，6或32，－6，从而|CO|2＝334，|CO|＝332，即圆C的半径为332.