【创新方案】2015届高考数学一轮复习(回扣主干知识+提升学科素养)第十章 第三节 二项式定理教案

1第三节二项式定理【考纲下载】1．能利用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)二项式系数二项展开式中各项系数Crn(r＝0,1，…，n)二项式通项Tr＋1＝Crnan－rbr，它表示第r＋1项2．二项式系数的性质1．二项式(x＋y)n的展开式的第k＋1项与(y＋x)n的展开式的第k＋1项一样吗？提示：尽管(x＋y)n与(y＋x)n的值相等，但它们的展开式形式是不同的，因此应用二项式定理时，x，y的位置不能随便交换．2．二项式系数与项的系数一样吗？提示：不一样．二项式系数是指C0n，C1n，…，Cnn，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．1．(x－y)n的二项展开式中，第r项的系数是()2A．CrnB．Cr＋1nC．Cr－1nD．(－1)r－1Cr－1n解析：选D本题中由于y的系数为负，故其第r项的系数为(－1)r－1Cr－1n.2．(2012·四川高考)(1＋x)7的展开式中x2的系数是()A．42B．35C．28D．21解析：选D依题意可知，二项式(1＋x)7的展开式中x2的系数等于C27×15＝21.3．C16＋C26＋C36＋C46＋C56＋C66的值为()A．62B．63C．64D．65解析：选B因为C16＋C26＋C36＋C46＋C56＋C66＝(C06＋C16＋C26＋C36＋C46＋C56＋C66)－C06＝26－1＝63.4.x＋2x2n展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n等于________．解析：∵展开式中只有第6项的二项式系数最大，∴n＝10.答案：105．(2014·南充模拟)(x＋1)9的展开式中x3的系数是________(用数字作答)．解析：依题意知，(x＋1)9的展开式中x3的系数为C69＝C39＝9×8×73×2×1＝84.答案：84前沿热点(十六)与二项式定理有关的交汇问题1．二项式定理作为一个独特的内容，在高考中总有所体现，常常考查二项式定理的通项、项的系数、各项系数的和等．2．二项式定理作为一个工具，也常常与其他知识交汇命题，如与数列交汇、与不等式交汇、与函数交汇等．因此在一些题目中不仅仅考查二项式定理，还要考查其他知识，其解题的关键点是它们的交汇点，注意它们的联系即可．[典例](2013·陕西高考)设函数f(x)＝x－1x6，x0，－x，x≥0，则当x0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为()A．－20B．20C．－15D．15[解题指导]先寻找x0时f(x)的取值，再寻找f[f(x)]的表达式，再利用二项式定理3求解．[解析]x0时，f(x)＝－x0，故f[f(x)]＝－x＋1x6，其展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr6·(－x)6－r·1xr＝(－1)6－r·Cr6·(x)6－2r，由6－2r＝0，得r＝3，故常数项为(－1)3·C36＝－20.[答案]A[名师点评]解决本题的关键有以下几点：(1)正确识别分段函数f(x)；(2)正确判断f(x)的符号；(3)正确写出f[f(x)]的解析式；(4)正确应用二项式定理求出常数项．设a2－a－2＝0，且a0，则二项式ax－1x6的展开式中的常数项是________．解析：由a2－a－2＝0，且a0，可得a＝2，所以二项展开式的通项是Tr＋1＝Cr6(2x)6－r－1xr＝Cr6·26－r·(－1)rx3－r，令3－r＝0，得r＝3，故二项展开式中的常数项是－C36×23＝－160.答案：－160