【创新方案】2015届高考数学一轮复习第四章 第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用教案 文

1第三节平面向量的数量积及平面向量的应用【考纲下载】1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．2．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．3．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．4．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cosθ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cosθ，规定0·a＝0.2．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，结论几何表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝x21＋y21夹角cosθ＝a·b|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0[1．若a·b＝a·c，则b＝c吗？为什么？提示：不一定．a＝0时不成立，另外a≠0时，由数量积概念可知b与c不能确定．2．等式(a·b)c＝a(b·c)成立吗？为什么？提示：(a·b)c＝a(b·c)不一定成立．(a·b)c是c方向上的向量，而a(b·c)是a方向上的向量，当a与c不共线时它们必不相等．3．|a·b|与|a|·|b|的大小之间有什么关系？提示：|a·b|≤|a|·|b|.因为a·b＝|a||b|cosθ，所以|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a|·|b|.1．已知|a|＝5，|b|＝4，a·b＝－10，则a与b的夹角为()A.π3B.2π3C.π6D.5π6解析：选B设a与b的夹角为θ，2则a·b＝|a||b|cosθ＝5×4cosθ＝－10，即cosθ＝－12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.2．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x＝()A．－1B．－12C.12D．1解析：选D∵a＝(1，－1)，b＝(2，x)，a·b＝1，∴2－x＝1，即x＝1.3．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，则|a＋2b|＝()A.2B.3C.5D.7解析：选B|a＋2b|＝a＋2b2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝1＋4×－12＋4＝3.4．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.解析：因为向量a，b为单位向量，所以b2＝1，又向量a，b的夹角为60°，所以a·b＝12，由b·c＝0，得b·[ta＋(1－t)b]＝0，即ta·b＋(1－t)b2＝0，所以12t＋(1－t)＝0，所以t＝2.答案：25．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE·BD＝________.解析：选向量的基底为AB，AD，则BD＝AD－AB，AE＝AD＋12AB，那么AE·BD＝12ADAB·(AD－AB)＝2.答案：2前沿热点(五)与平面向量有关的交汇问题1．平面向量的数量积是每年高考的重点和热点内容，且常与三角函数、数列、三角形、解析几何等交汇命题，且常考常新．2．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用平面向量数量积的公式和性质．[典例](2013·安徽高考)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|OA|＝|OB|＝OA·OB＝2，则点集{P|OP＝λOA＋μOB，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是()A．22B．23C．42D．43[解题指导]根据条件|OA|＝|OB|＝OA·OB＝2，可设A(2,0)，B(1，3)，OP＝(x，y)．利用OP＝λOA＋μOB，以及|λ|＋|μ|≤1建立关于x，y的不等式，从而将问题转化为线性规划问题求解．3[解析]由|OA|＝|OB|＝|OA|·|OB|＝2，知〈OA，OB〉＝π3.设OA＝(2,0)，OB＝(1，3)，OP＝(x，y)，则x＝2λ＋μ，y＝3μ，解得μ＝y3，λ＝12x－y3.由|λ|＋|μ|≤1，得|3x－y|＋|2y|≤23.作可行域如图．则所求面积S＝2×12×4×3＝43.[答案]D[名师点评]解决本题的关键有以下几点：(1)根据已知条件，恰当设出A，B两点的坐标，将其转化为向量的坐标运算，这是解决此题的突破口．(2)正确列出λ及μ关于x，y的不等式组．(3)准确画出不等式组所表示的平面区域，并算得面积．已知两点M(－3,0)，N(3,0)，点P为坐标平面内一动点，且|MN|·|MP|＋MN·NP＝0，则动点P(x，y)到点M(－3,0)的距离d的最小值为()A．2B．3C．4D．6解析：选B因为M(－3,0)，N(3,0)，所以MN＝(6,0)，|MN|＝6，MP＝(x＋3，y)，NP＝(x－3，y)．由|MN|·|MP|＋MN·NP＝0，得6x＋2＋y2＋6(x－3)＝0，化简得y2＝－12x，所以点M是抛物线y2＝－12x的焦点，所以点P到点M的距离的最小值就是原点到M(－3,0)的距离，所以dmin＝3.