【创新方案】2015高考数学(文)一轮演练知能检测：第3章 第3节 三角函数的图象与性质

第三节三角函数的图象与性质[全盘巩固]1．给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝π3对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是()A．y＝sinx2＋π6B．y＝sin2x－π6C．y＝sin2x＋π6D．y＝sin|x|解析：选B注意到函数y＝sin2x－π6的最小正周期T＝2π2＝π，当x＝π3时，y＝sin2×π3－π6＝1，因此该函数同时具有性质①②.2．函数y＝2sinπ6x－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．2－3B．0C．－1D．－1－3解析：选A∵0≤x≤9，∴0≤π6x≤3π2，∴－π3≤π6x－π3≤7π6，∴－32≤sinπ6x－π3≤1，即－3≤2sinπ6x－π3≤2.所以其最大值为2，最小值为－3，故最大值与最小值之和为2－3.3．已知函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为－1，12，则b－a的值不可能是()A.π3B.2π3C．πD.4π3解析：选A画出函数y＝sinx的草图分析知b－a的取值范围为2π3，4π3.4．(2014·丽水模拟)函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间π2，3π2内的图象是()ABCD解析：选Dy＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|＝2tanx，x∈π2，π，2sinx，x∈π，3π2.故选D.5．(2014·温州模拟)若函数y＝2cosωx在区间0，2π3上递减，且有最小值1，则ω的值可以是()A．2B.12C．3D.13解析：选B由y＝2cosωx在0，2π3上是递减的，且有最小值为1，则有f2π3＝1，即2×cosω×2π3＝1，即cos2π3ω＝12.经验证，得出选项B符合．6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝π2时，f(x)取得最大值，则()A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数解析：选A∵f(x)的最小正周期为6π，∴ω＝13.∵当x＝π2时，f(x)有最大值，∴13×π2＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，φ＝π3＋2kπ(k∈Z)，∵－π＜φ≤π，∴φ＝π3.∴f(x)＝2sinx3＋π3，由函数f(x)的图象(图略)易得，函数f(x)在区间[－2π，0]上是增函数，而在区间[－3π，－π]或[3π，5π]上均没单调性，在区间[4π，6π]上是增函数．7．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，对于任意x都有fπ6＋x＝fπ6－x，则fπ6等于________．解析：∵fπ6＋x＝fπ6－x，∴x＝π6是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一条对称轴．∴fπ6＝±2.答案：2或－28．已知函数f(x)＝12(sinx＋cosx)－12|sinx－cosx|，则f(x)的值域是________．解析：f(x)＝12(sinx＋cosx)－12|sinx－cosx|＝cosxsinx≥cosx，sinxsinx＜cosx.画出函数f(x)的图象(实线)，如图，可得函数的最小值为－1，最大值为22，故值域为－1，22.答案：－1，229．已知函数f(x)＝cosxsinx(x∈R)，给出下列四个命题：①若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2；②f(x)的最小正周期是2π；③f(x)在区间－π4，π4上是增函数；④f(x)的图象关于直线x＝3π4对称．其中真命题的是________．解析：f(x)＝12sin2x，当x1＝0，x2＝π2时，f(x1)＝－f(x2)，但x1≠－x2，故①是假命题；f(x)的最小正周期为π，故②是假命题；当x∈－π4，π4时，2x∈－π2，π2，故③是真命题；因为f3π4＝12sin3π2＝－12，故f(x)的图象关于直线x＝3π4对称，故④是真命题．答案：③④10．函数f(x)＝Asinωx－π6＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设α∈0，π2，fα2＝2，求α的值．解：(1)∵函数f(x)的最大值为3，∴A＋1＝3，即A＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T＝π，∴ω＝2，∴函数f(x)的解析式为y＝2sin2x－π6＋1.(2)∵fα2＝2sinα－π6＋1＝2，∴sinα－π6＝12.∵0απ2，∴－π6α－π6π3，∴α－π6＝π6，∴α＝π3.11．(2013·湖南高考)已知函数f(x)＝sinx－π6＋cosx－π3，g(x)＝2sin2x2.(1)若α是第一象限角，且f(α)＝335，求g(α)的值；(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．解：f(x)＝sinx－π6＋cosx－π3＝32sinx－12cosx＋12cosx＋32sinx＝3sinx，g(x)＝2sin2x2＝1－cosx.(1)由f(α)＝335，得sinα＝35.又α是第一象限角，所以cosα0.从而g(α)＝1－cosα＝1－1－sin2α＝1－45＝15.(2)f(x)≥g(x)等价于3sinx≥1－cosx，即3sinx＋cosx≥1.于是sinx＋π6≥12.从而2kπ＋π6≤x＋π6≤2kπ＋5π6，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋2π3，k∈Z.故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为x|2kπ≤x≤2kπ＋2π3，k∈Z.12．已知向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx，23cosωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈12，1.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图象经过点π4，0，求函数f(x)在区间0，3π5上的取值范围．解：(1)f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋23sinωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx＋3sin2ωx＋λ＝2sin2ωx－π6＋λ.由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin2ωπ－π6＝±1，所以2ωπ－π6＝kπ＋π2(k∈Z)，即ω＝k2＋13(k∈Z)．又ω∈(12，1)，k∈Z，所以k＝1，故ω＝56.所以f(x)的最小正周期是6π5.(2)由y＝f(x)的图象过点π4，0，得fπ4＝0，即λ＝－2sin56×π2－π6＝－2sinπ4＝－2，故f(x)＝2sin53x－π6－2，由0≤x≤3π5，有－π6≤53x－π6≤5π6，所以－12≤sin53x－π6≤1，得－1－2≤2sin53x－π6－2≤2－2，故函数f(x)在0，3π5上的取值范围为[－1－2，2－2]．[冲击名校]1．已知函数f(x)＝2sinωx在区间－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是()A.－∞，－92∪[6，＋∞)B.－∞，－92∪32，＋∞C．(－∞，－2]∪[6，＋∞)D．(－∞，－2]∪32，＋∞解析：选D当ω＞0时，由－π3≤x≤π4，得－π3ω≤ωx≤π4ω，由题意知，－π3ω≤－π2，∴ω≥32；当ω＜0时，由－π3≤x≤π4，得π4ω≤ωx≤－π3ω，由题意知，π4ω≤－π2，∴ω≤－2，综上可知，ω∈(－∞，－2]∪32，＋∞.2．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2，给出以下四个论断：①它的最小正周期为π；②它的图象关于直线x＝π12成轴对称图形；③它的图象关于点π3，0成中心对称图形；④在区间－π6，0上是增函数．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)．解析：若①②成立，则ω＝2ππ＝2；令2·π12＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，且|φ|＜π2，故k＝0，则φ＝π3.此时f(x)＝sin2x＋π3，当x＝π3时，sin2x＋π3＝sinπ＝0，所以f(x)的图象关于π3，0成中心对称；又f(x)在－5π12，π12上是增函数，则f(x)在－π6，0上也是增函数，因此①②⇒③④.用类似的分析可求得①③⇒②④.答案：①②⇒③④或①③⇒②④[高频滚动]1．已知sinθ＝45，sinθ－cosθ＞1，则cosθ＝()A．－35B．－310C．－12D.35解析：选A由(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＞1，可得sinθcosθ＜0，又因为sinθ＞0，所以cosθ＜0，即cosθ＝－35.2．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cosA＝－2cos(π－B)，求△ABC的三个内角．解：由已知得sinA＝2sinB，①3cosA＝2cosB，②①2＋②2得2cos2A＝1，即cosA＝22或cosA＝－22.(1)∵当cosA＝22时，cosB＝32，又A，B是△ABC的内角，∴A＝π4，B＝π6，∴C＝π－(A＋B)＝7π12.(2)∵当cosA＝－22时，cosB＝－32.又A，B是△ABC的内角，∴A＝3π4，B＝5π6，不合题意．综上可知，A＝π4，B＝π6，C＝7π12.