数学分析(华东师大版)上第八章8-1

返回后页前页§1不定积分概念与基本积分公式一、原函数不定积分是求导运算的逆运算.四、基本积分表三、不定积分的几何意义二、不定积分返回返回后页前页微分运算的逆运算是由已知函数f(x),求函数F(x),一、原函数使ststvt(),()().使例如vtst(),().已知速度函数求路程函数即求,(),kx又如已知曲线在每一点处的切线斜率求(),(),fxyfx使的图象正是该曲线即使得()().fxkx()().Fxfx返回后页前页定义1fFI设函数与在区间上都有定义,若fFI.则称为在区间上的一个原函数Fxfx()()，,xI32(ii)3xx是的一个原函数:xx32.3例1stvt(i)()()路程函数是速度函数的一个原函).()(tvts数:返回后页前页xxx221(iii)ln(1)1是的一个原函数:221ln(1).1xxx从(iii)(iv)可以看出,尽管象221(iv)1arcsin1:2xxxx是的一个原函数2211arcsin1.2xxxx22111xx和返回后页前页研究原函数有两个重要的问题:1.满足何种条件的函数必定存在原函数?如果存2.若已知某个函数的原函数存在,如何把它求出这种形式简单的函数,要求出它们的原函数也不是一件容易的事.在原函数,它是否惟一?来?返回后页前页第一个问题由以下定理回答.定理8.1(原函数存在性定理)fIfI,若函数在区间上连续则在上存在原函()().Fxfx在第九章中将证明此定理.数F,即返回后页前页定理8.2(原函数族的结构性定理)()(),FxfxI设是在区间上的一个原函数则(i)()(),FxCfxIC也是在上的原函数其中(ii)f(x)在I上的任意两个原函数之间,只可能相差.为任意常数一个常数.返回后页前页证(i)(())()(),()FxCFxfxFxC由知().fxI也是在上的原函数(ii)设F(x)和G(x)是f(x)在I上的任意两个原)()())()((xGxFxGxF由第六章拉格朗日中值定理的推论,即知FxGxC()().()()0.fxfx函数,则返回后页前页fxx()d,二、不定积分定义2fIf函数在区间上的全体原函数称为在I上的不定积分,记作,(),xfx其中称为积分变量为被积函数()d.fxx为积分表达式,为积分号()(),8.2,Fxfx若是的一个原函数则由定理()d()R.fxxFxCC返回后页前页为方便起见,我们记()d().fxxFxC其中由此,从例1(ii)(iii)(iv)可得:xxxC231d,322dln(1),1xxxCx2211d1arcsin.2xxxxxC.C为任意常数返回后页前页若F(x)是f(x)的一个原函数,则称y=F(x)的图所有的积分曲线都是三、不定积分的几何意义()yFxC00(,)xy()yFxxOy像是f(x)的一条积分曲线.到的.沿纵轴方向平移而得由其中一条积分曲线返回后页前页例如,质点以匀速v0运动时,其路程函数00()d.stvtvtC若t0时刻质点在s0处,且速度为v0,则有000()().stvtts的原函数正是在积分曲线中00()Fxy满足条件),(00yx通过点的那一条积分曲线.返回后页前页由基本求导公式可得以下基本积分公式:1.0d.xC2.1dd.xxxC13.d(1,0).1xxxCx14.dln||.xxCx5.ede.xxxC四、基本积分表6.d.lnxxaaxCa返回后页前页7.cosdsin.xxxC8.sindcos.xxxC29.secdtan.xxxC210.cscdcot.xxxC11.sectandsec.xxxxC12.csccotdcsc.xxxxC2d13.arcsinarccos.1xxCxCx2d14.arctanarccot.1xxCxCx返回后页前页由导数线性运算法则可得到不定积分的线性运算定理8.3(不定积分的线性运算法则)1212(()())d()d()d.kfxkgxxkfxxkgxx上都存在原函数,k1,k2为fgI若函数与在区间kfkgI12,在上也存在原函数且任意常数,则nnnnaaapxxxxxaxCnn12011()d.12例1,)(1110nnnnaxaxaxaxp则法则.返回后页前页例2xxxxxx422212d(1)d11xxxC312arctan.3例3xx2tandxxCtan.xx2(sec1)dxxx22[(10)(10)2]d221(1010)2.2ln10xxxC例4xxx2(1010)dxxx22(10102)d