圆的参数方程

圆的参数方程湖南省永顺县第一中学授课人：罗振明复习：1.圆的标准方程是什么？它表示怎样的圆？(x-a)2+(y-b)2=r2，表示圆心坐标为(a,b),半径为r的圆。2.三角函数的定义？3.参数方程的定义？则设（终边上任意一点角,),,rOPyxPxyryrxtan,sin,cos一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数，即为参数）ttgytfx()()(探求：圆的参数方程∵点P在∠P0OP的终边上,如图,设⊙O的圆心在原点,半径是r.与x轴正半轴的交点为P0,圆上任取一点P,若OP0按逆时针方向旋转到OP位置所形成的角∠P0OP=θ,求P点的坐标。根据三角函数的定义得sin,cos.yxrrcos,sin.xryr(cos,sin).Prr解:设P（x,y）,(1)我们把方程组(1)叫做圆心为原点、半径为r的圆的参数方程。其中参数θ表示OP0到OP所成旋转角，。02例1如图,已知点P是圆O:x2+y2=16上的一个动点,点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,求线段PA中点M的轨迹方程，并说明点M的轨迹图形是什么？解：则圆的参数方程为：取,xOP为参数）(.sin2,cos2yx由中点公式可得：）为（的坐标则点的坐标为（设点,sin2,cos2),,PyxMsin2sin2,3cos26cos2yx所以，点M的轨迹的参数方程是为参数）（.sin,3cosyx注意：轨迹是指点运动所成的图形；轨迹方程是指表示动点所成图形所满足的代数等式。它表示（3,0）为圆心，1为半径的圆变式已知点P是圆O:x2+y2=16上的一个动点,点B是平面上的定点,坐标为(12,2).当点P在圆上运动时,求线段PB中点M的轨迹方程，并说明点M的轨迹图形是什么？解：则圆的参数方程为：取,xOP为参数）(.sin2,cos2yx由中点公式可得：）为（的坐标则点的坐标为（设点,sin2,cos2),,PyxM1sin22sin2,3cos26cos2yx所以，点M的轨迹的参数方程是为参数）（.1sin,3cosyx它所表示的图形是以（3,1）为圆心，1为半径的圆。圆心为(a,b)、半径为r的圆的参数方程为x=a+rcosθy=b+rsinθ(θ为参数)得出结论：探究过程请同学们课后完成例2说明：本例说明了圆的参数方程在求最值时的应用；sin23cos21sin23cos21(.sin23,cos214)3()103222222yxPyxyxyxyx），（则为参数）其参数方程为（可化为解：圆)4sin(2213已知点P(x,y)是圆上的一个动点,求:x+y的最小值。032222yxyx2213)(1)4sin(minyx时，当1.写出下列圆的参数方程:(1)圆心在原点,半径为:______________;3(2)圆心为(-2,-3),半径为1:______________.3x=cosθy=sinθ3x=-2+cosθy=-3+sinθ2.若圆的参数方程为,则其标准方程为:_________________.x=5cosθ+1y=5sinθ-1(x-1)2+(y+1)2=253.已知圆的方程是x2+y2-2x+6y+6=0,则它的参数方程为_______________.x=1+2cosθy=-3+2sinθ圆心为(a,b)、半径为r的圆的参数方程为x=a+rcosθy=b+rsinθ(θ为参数)思考：圆的参数方程有什么特点？•(1)参数方程可以用来求轨迹问题.•(2)参数方程可以用来求最值.•(3)掌握圆参数方程和普通方程的互换.探求：求圆心为O1(a,b)、半径为r的圆的参数方程1.⊙O1与⊙O有什么联系？⊙O1是由⊙O按向量=(a,b)平移后得到。1OO由平移公式得：11,.xxayyb11cos,sin.xryr而cos,sin.xarybr圆心为O1(a,b)、半径为r的圆的参数方程为（其中θ为参数）cos,sin.xarybr结论：2.⊙O1上任一点P(x,y)与其对应点(x1,y1)的坐标有什么联系？1P