10-1 简谐运动力学、运动学和能量特点

10-1简谐振动的动力学、运动学和能量特征第一讲简谐振动的动力学、运动学和能量特征1-1振动1-2简谐振动的动力学特征1-3简谐振动的运动学描述1-4简谐振动的判定1-5简谐振动的能量特征PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建简谐振动的动力学、运动学和能量特征1.振动：任何一个物理量在一个定值附近随时间反复变化的现象都可以叫做振动。如机械振动、电磁振动等振动是物体的一种运动形式。振动在力学、声学、电学、生物工程、自控等各领域都占有重要的地位。2.特点：有平衡且具有重复性。1-1振动机械振动CL电磁振荡PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建Ò简谐振动的动力学、运动学和能量特征3.振动分类按产生振动原因分：自由、受迫、自激、参变振动。按振动规律分：简谐、非简谐、随机振动。按自由度分：单自由度系统、多自由度系统振动。按振动位移分：角振动、线振动。按系统参数特征分：线性、非线性振动。4.振动的简单性与复杂性最简单、最基本的振动--简谐运动简谐运动复杂振动合成分解PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建ÿ简谐振动的动力学、运动学和能量特征1.谐振子--作简谐运动的理想模型.1-2简谐振动的动力学特征Fkx=-•质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动。•平衡位置：质点所受合力为零的位置。2.受力分析PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建简谐振动的动力学、运动学和能量特征mk=2w令xxFmo22dxFkxmdt=-=0xmkdtxd22=+0xdtxd222=+wω--角频率，由系统性质决定周期T：22mTkppw==3.简谐振动动力学方程--动力学方程PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建简谐振动的动力学、运动学和能量特征11）单摆）单摆::qsinmgfl-=++-=!5!3sin53qqqqqq≈sinqmgfl-≈平衡点：OlmoAqTFP转动正向切向力：22lldfmaldtq==0lgdtd22=+qq4.简谐振动实例分析PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建昀f简谐振动的动力学、运动学和能量特征0lgdtd22=+qq0dtd222=+qwqlg2=w令：lmoAqTFP转动正向22lTgppw==PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建简谐振动的动力学、运动学和能量特征oC*2）复摆qbMmgbq≈-22ddmgbJtqq-=222d0dtqwq+=2mgbJw=令P（点为质心）C2πJTmgb=转动正向PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建勍{简谐振动的动力学、运动学和能量特征0lmoAoC*2πJTmgb=＊讨论：等值摆长b0l⇒02πlTg=0Jlmb=P•证一证：打击中心P与悬挂点O可以互换PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建简谐振动的动力学、运动学和能量特征CL任一时刻自感电动势与C的两板间电势差相等。UdtdIL=-Cq=0=+CqdtdILdtdqI=33）无阻尼电磁振荡的振动方程）无阻尼电磁振荡的振动方程022=+LCqdtqdLC12=w2TLCp=0222=+qdtqdwPDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建简谐振动的动力学、运动学和能量特征5.小结：简谐振动动力学特征：fkx=-力学：物体受线性回复力作用lfmgq=-Mmgbq=-0xdtxd222=+w0222=+qdtqdw⎧⎪⎨⎪⎩电学：•某一物理量满足这一方程，则这一物理量作简谐振动。PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建简谐振动的动力学、运动学和能量特征例1一质量为m的平底船，其平均水平截面积为S，吃水深度为h，如不计水的阻力，求此船在竖直方向的振动周期。解:船静止时浮力与重力平衡，设水的密度为ρmghSg=rOyPPy()fhySgmgySgkyrr=-++=-=-mSgrw=gSmTrpwp22==,Shmr=ghTp2=PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建f简谐振动的动力学、运动学和能量特征1-3简谐振动的运动学特征)tcos(Axfw+=0xdtxd222=+w运动学方程：1.1.三要素的物理意义三要素的物理意义11）由初始振动状态决定的两个待定常数）由初始振动状态决定的两个待定常数AA和和φφAA----振幅：离开平衡位置最大位移的绝对值振幅：离开平衡位置最大位移的绝对值..tjwf=+位相：确定t时刻运动状态的物理量。pfp-φφ——初位相。初位相。ωω——圆频率：表示圆频率：表示22ππ秒内振动次秒内振动次2）由系统性质决定的参量wp2T=pnw2=PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建简谐振动的动力学、运动学和能量特征22020wv+=xA00tanxwjv-=2.常数和的确定Ajjcos0Ax=jwsin0A-=v)sin(jww+-=tAv)cos(jw+=tAxj在-p-—p之间有两个解，但只有一个解符合要求，为此要根据已知的x0、v0的正负来判断和取舍。000vv===xxt初始条件PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建Ò简谐振动的动力学、运动学和能量特征tOx)tcos(Axfw+=运动学方程：振动图线tx-3.振动图线PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建简谐振动的动力学、运动学和能量特征tx-图t-v图ta-图TwAwA-2wA2wA-xvatttAA-oooTT)cos(jw+=tAx)2πcos(++=jwwtA)sin(jww+-=tAv)πcos(2++=jwwtA)cos(2jww+-=tAa4.简谐振动的速度和加速度：0j=PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建简谐振动的动力学、运动学和能量特征jcos0A=2π±=j0sin0-=jwAv2π0sin=∴jj取0,0,0==vxt已知求j讨论xvo)2πcos(+=tAxwAA-xT2TtoPDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建ÿ简谐振动的动力学、运动学和能量特征1-4.简谐振动的判据1-4.简谐振动的判据1.判断合外力（或合外力矩）与物体离开平衡位置的位移（或角位移）是否成F=-kx的形式。2.判断位移与时间是否满足微分方程：0222=+xdtxdw3.根据物体的运动是否满足方程：)cos(jw+=tAxPDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建简谐振动的动力学、运动学和能量特征例.证明竖直悬挂弹簧的运动是谐振动。x0xxo证明：平衡位置弹簧伸长x00kxmg=在任意位置x处，合力为：)(0xxkmgF+-=kx-=周期为：2mTkp=想一想：如右图所示，系统是否作谐振动？若是，周期是多少？kmPDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建Ò简谐振动的动力学、运动学和能量特征)(sin21212222kjww+==tAmmEv)(cos2121222pjw+==tkAkxE线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒1-5简谐振动的能量特征)sin()cos(jwwjw+-=+=tAtAxvkxF-=22pk21AkAEEE∝=+=mk/2=w（振幅的动力学意义）PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建简谐振动的动力学、运动学和能量特征简谐运动能量守恒，振幅不变221kAE=•谐振能量与振幅的平方成正比。动能的时间平均值:∫+=TkdttkATE022)(sin211jw241kA=势能的时间平均值:∫+=TPdttkATE022)(cos211jw241kA=弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且等于总机械能的一半。结论：PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建简谐振动的动力学、运动学和能量特征1.简谐运动能量图tx-t-v221kAE=0=jtAxwcos=tAwwsin-=vv,xtoT4T2T43T能量oTttkAEw22pcos21=tAmEww222ksin21=PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建ÿ简谐振动的动力学、运动学和能量特征2.能量守恒简谐运动方程推导常量=+=222121kxmEv0)2121(dd22=+kxmtv0dddd=+txkxtmvv0dd22=+xmktxPDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建简谐振动的动力学、运动学和能量特征例1质量为的物体，以振幅作简谐运动，其最大加速度为，求：kg10.0m100.12-×2sm0.4-⋅（1）振动的周期；（2）通过平衡位置的动能；（3）总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？解（1）2maxwAa=Aamax=w1s20-=s314.0π2==wTPDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建简谐振动的动力学、运动学和能量特征（2）J100.23-×=222maxmax,k2121AmmEw==v（3）max,kEE=J100.23-×=（4）pkEE=时，J100.13p-×=E由222p2121xmkxEw==2p22wmEx=24m105.0-×=cm707.0±=xPDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建简谐振动的动力学、运动学和能量特征例2劲度系数为k、原长为l、质量为m的均匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为M的物体，在光滑水平面内作直线运动。求解其运动。解：坐标原点：O位移为：ddmmsl=sxl任意时刻：弹簧元ds的质量：ddsxlt速度为：弹簧、物体的动能分别为：221011(d)26lKmsEsvmvll⎛⎞==⎜⎟⎝⎠∫2212KEMv=lxMdssxPDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建ÿ简谐振动的动力学、运动学和能量特征系统弹性势能为机械能守恒：22PEkx=常数222111262Mvmvkx++=常数2211()232mMvkx++=d()03dmvMkxt++=22d0d3xkxtMm+=+2w22(3)TMmkpwp==+PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建