椭圆及其标准方程(第一课时)公开课

2008年9月25日晚21时10分04秒，“神舟七号”载人飞船在酒泉卫星发射中心发射升空，实现了太空行走，标志着我国航天事业又上了一个新台阶。生活中的椭圆（一）认识椭圆课题：椭圆及其标准方程（一）（二）动手试验(1)取一条一定长的细绳(2)把它的两端用图钉固定在纸板上(3)当绳长大于两图钉之间的距离时，用铅笔尖把绳子拉直，使笔尖在纸板上慢慢移动，画出一个图形FLASH动画演示结合实验以及“圆的定义”,思考讨论一下应该如何定义椭圆？反思：F1F2M（三）概念透析F1F2M平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点两焦点之间的距离叫做焦距。1、椭圆的定义如果设轨迹上任一点M到两定点F1、F2的距离和为常数2a，两定点之间的距离为2c，则椭圆定义还可以用集合语言表示为：P={M||MF1|+|MF2|=2a（2a2c）}．（1）平面曲线（2）到两定点F1，F2的距离等于定长（3）定长﹥|F1F2|反思：椭圆上的点要满足怎样的几何条件？平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点两焦点之间的距离叫做焦距。绳长＝12FF12FF绳长＜注：定长所成曲线是椭圆定长所成曲线是线段定长无法构成图形122aFF122aFF122aFFOXYF1F2M2、椭圆方程的建立步骤一：建立直角坐标系,步骤二：设动点坐标求曲线方程的步骤:步骤三：限制条件列等式步骤四：代入坐标步骤五：化简方程解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a2c)，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).（想一想：下面怎样化简？）222221)(||,)(||ycxMFycxMFaycxycx2)()(2222得方程由椭圆的定义，代入坐标OxyMF1F2(四)方程推导xyoac22||OPacb令则方程可化为观察左图，你能从中找出表示c、a的线段吗？).0(12222babyax即122222cayaxa2-c2有什么几何意义？b化简，得)()(22222222caayaxca移项，得2222)(2)(ycxaycxxyoF1(0,c)F2(0,-c)M(x,y)如果焦点在y轴上，则椭圆的标准方程为：)0(12222babxay其焦点坐标为(0,-c)，(0,c)2222+=10xyabab表示焦点在x轴上的椭圆表示焦点在y轴上的椭圆问题:对于一个具体的椭圆方程，怎么判断它的焦点在哪条轴上呢？哪个分母大，它对应的分子就是焦点所在轴．其中：．222cab只需将x，y交换位置即得椭圆的标准方程.2、已知椭圆的方程为，请填空：a=，b=，c=，焦点坐标为焦距等于.22110036xy1、a=5，c=4，焦点在x轴上的椭圆标准方程是定义示例:106816(-8,0)、(8,0)192522yx11625)1(22yx）不等于其中0(11)4(2222mmymx123)3(22yx分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上，反之亦然。注意：（五）尝试应用1、下列方程哪些表示的是椭圆，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？0225259)2(22yx变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4)，结果如何？192522xy变式二:将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，结果如何？192522yx192522xy已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；221259xy（五）尝试应用2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程当焦点在X轴时，方程为：当焦点在Y轴时，方程为：例1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程两个焦点的坐标是（0，-2）和（0，2），并且经过点P解：因为椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为)0(12222babxay∵c=2，且c2=a2-b2∴4=a2-b2……①又∵椭圆经过点P2523，∴……②1)()(22232225ba联立①②可求得：6,1022ba∴椭圆的标准方程为161022xy(法一)xyF1F2P2523，（六）典例分析(法二)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知，.6410,2.10,10210211023)225()23()225()23(22222222cabcaa　　又　　所以所求椭圆的标准方程为.161022xy)0(12222babxay求椭圆的标准方程的步骤：（1）首先要判断焦点位置，设出标准方程（先定位）（2）根据椭圆定义或待定系数法求a,b（后定量）2222+=10xyabab2222+=10xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上12-,0,0，FcFc120,-0,，FcFc标准方程相同点焦点位置的判断不同点图形焦点坐标探究定义a、b、c的关系xyF1F2MOxyF1F2MOa2-c2=b2(ab0)（七）谈谈收获P={M||MF1|+|MF2|=2a（2a2c）}．注意理解以下几点：①在椭圆的两种标准方程中，都有0ba的要求；②在椭圆的两种标准方程中，由于，22ab所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上；,,abc222abc0,0,abacbc和③椭圆的三个参数之间的关系是，其中大小不确定．1、课后反思与体验（八）课后作业2、作业本：椭圆及其标准方程（一）１、本节课我学到了哪些知识，是用什么方法学会的？２、我还有什么知识没有掌握，是什么原因导致的？３、我从老师和同学那儿学到了哪些好的学习方法？４、通过上述的回顾评价一下自己本节课的表现。1．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a=4,b=3,焦点在x轴；（2）a=5,c=2,焦点在y轴上．191622yx1FCDF23．椭圆的焦距是，焦点坐标为；的弦，则的周长为．若CD为过左焦点42.若M为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，并且︱MF1︱=6,则︱MF2︱=.1162522yx练习[例2]方程x22m－y2m－1＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是________．[答案]13m1如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是________．[答案]0k1[解析]将方程整理，得x22＋y22k＝1，依题意2k2k0，解得0k1.[点评]形如Ax2＋By2＝C的方程中，只要A、B、C同号，就是椭圆方程，解决此类问题时应先将方程化为标准形式x2CA＋y2CB＝1.命题方向定义法求点的轨迹方程[例4]已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．[分析]根据两圆内切的特点，得出|PA|＋|PB|＝10，由于A点的坐标为(－3,0)，B点的坐标为(3,0)，所以点P的轨迹方程是以A、B为焦点的椭圆的标准方程，这就把求点P的轨迹方程的问题转化成了求a2、b2的问题．建模应用引路[解析]设圆P的半径为r，又圆P过点B，∴|PB|＝r，又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10.∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．∴2a＝10,2c＝|AB|＝6，∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.即点P的轨迹方程为x225＋y216＝1.[点评]在求动点的轨迹方程时，要对动点的运动规律仔细分析，去伪存真，当发现有动点到两定点的距离之和为定值时，要马上和椭圆的定义进行联系．若符合椭圆的定义，即可直接写出对应的椭圆方程，这种方法也叫定义法求轨迹方程．已知F1、F2是两点，|F1F2|＝8，(1)动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则点M的轨迹是____________．(2)动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则点M的轨迹是__________．[答案]以F1、F2为焦点，焦距为8的椭圆线段F1F2[解析]因为|F1F2|＝8且动点M满足|MF1|＋|MF2|＝108＝|F1F2|，由椭圆定义知，动点M的轨迹是以F1、F2为焦点，焦距为8的椭圆．其标准方程为x225＋y29＝1或y225＋x29＝1.因为|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|，所以动点M的轨迹是线段F1F2.