大学物理(肖剑荣主编)-习题答案-第1章

第一章课后习题解答桂林理工大学理学院胡光辉（《大学物理·上册》主编：肖剑荣梁业广陈鼎汉李明）1-1｜｜与有无不同?和有无不同?和有无不同?其不同在哪里?试举例说明．解：（1）是位移的模，是位矢的模的增量，即，；（2）是速度的模，即.只是速度在径向上的分量.∵有（式中叫做单位矢），则式中就是速度径向上的分量，∴不同如题1-1图所示.(3)表示加速度的模，即，是加速度在切向上的分量.∵有表轨道节线方向单位矢），所以式中就是加速度的切向分量.1-2质点在xy平面内做曲线运动，则质点速率的正确表达式为解：（3）（4）（5）1-3一质点的运动方程为x=5+4t-t2(SI)，求（1）从0到3s的时间间隔内质点的位移、路程、平均速度和平均速率；rDrDtddrtddrtddvtddvrDDrrD12rr-=12rrr!!-=Dtddrtddr==vtsddtrddrrˆr=rˆtˆrˆtrtddddddrrr+=trddtrtdddd与rtddvtvadd!!=tvddatt!!(v=vtvtvtvddddddtt!!!+=dtdv（2）求t=3s时的速度和加速度。解：（1）𝑣=𝑣#=$#$%=4−2𝑡 (𝑚/𝑠)故为变速直线运动。𝑎=$1$%=−2 𝑚/𝑠2故为匀变速直线运动。t=2sv=0质点改变运动方向t2s𝑣,𝑎 反向质点改变运动方向t2s𝑣,𝑎 同向质点改变运动方向因为x=5+4t-t2 𝑥%56=5 𝑚𝑥%52=9 𝑚𝑥%59=8 𝑚从0到3s的时间间隔内质点的:位移∆𝑥=𝑥%59−𝑥%56=3 𝑚路程∆𝑠=(𝑥%52−𝑥%56)+(𝑥%52−𝑥%59)=5 𝑚平均速度∆𝑣=∆𝑥∆𝑡⁄=(𝑥%59−𝑥%56)/3=1 𝑚/𝑠平均速率∆𝑣=∆𝑠∆𝑡⁄=@9 𝑚/𝑠(2)t=3s时:𝑣=𝑑𝑥𝑑𝑡=𝑑(5+4𝑡−𝑡2)𝑑𝑡=−2 𝑚/𝑠𝑎=𝑑𝑣𝑑𝑡=−2 (𝑚/𝑠2)1-4一质点运动学方程为x=t2,y=(t-1)2，x和y均以m为单位，t以s为单位，试求：（1）质点的轨道方程；（2）在t=2s时，质点的速度v和加速度a.解：（1）（2）由运动学方程：时，，（注意矢量的写法，写成分量形式就不用加单位矢量了）1-5在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如图所示．当人以(m·)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．()()22211-=Þïîïíì-==xytytx()jtitjyixr!!!!!221-+=+=()jtitdtrdv!!!!222-+==s2=t()m/s24jiv!!!+=()2m/s22jidtvda!!!!+==0v1-s解：本题关键是先求得小船速度表达式,进而判断运动性质．为此建立如图所示坐标系,设定滑轮距水面高度为h,t时刻定滑轮距小船的绳长为l,则小船的运动方程为,其中绳长l随时间t而变化．小船速度,式中表示绳长l随时间的变化率,其大小即为v0,代入整理后为,方向沿x轴负向．设人到船之间绳的长度为，此时绳与水面成角，由图可知将上式对时间求导，得根据速度的定义，并注意到,是随减少的，∴即或将再对求导，即得船的加速度1-6一质点沿一直线运动，其加速度为a=-2x(SI)，设x=0时，v0=4m/s，求该质点的速度v与位置的坐标x之间的关系。22hlx-=22ddddhltlltx-==vtlddθlhlcos/0220vvv=-=lq222shl+=ttsstlldd2dd2=lsttsvvtlvdd,dd0-==-=船绳qcosdddd00vvsltlsltsv==-=-=船svshslvv02/1220)(+==船船vt3202220202002)(ddddddsvhsvslsvslvsvvstsltlstva=+-=+-=-==船船1-7已知一质点作直线运动，其加速度为＝4+3，开始运动时，＝5m，=0，求该质点在＝10s时的速度和位置．解：分离变量，得积分，得由题知，，，∴故又因为分离变量，积分得由题知，，∴故所以时1-8一球以30m.s-1的速度水平抛出，试求5s后加速度的切向分量和法向分量。解：由题意可知，小球作平抛运动，它的运动方程为at2sm-×xvtttva34dd+==ttvd)34(d+=12234cttv++=0=t00=v01=c2234ttv+=2234ddtttxv+==tttxd)234(d2+=232212cttx++=0=t50=x52=c521232++=ttxs10=tm70551021102sm190102310432101210=+´+´=×=´+´=-xv2021gtytvx==将上式对时间求导，可得速度在坐标轴上的分量为因而小球在t时刻速度的大小为故小球在t时刻切向加速度的大小为由因为小球作加速度a=g的抛体运动，所以在任意时刻，它的切向加速度与法向加速度满足：且互相垂直。由三角形的关系，可求得法向加速度为：代入数据，得，1-9一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置（SI），求：（1）在t=2秒时，它的法向加速度和切向加速度各是多少？在t=4秒时又如何？（2）当切向加速度的大小恰是总加速度大小的一半时，的值是多少？（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰好有相等的值？解：（1）角速度为ω=dθ/dt=12t2=48(rad·s-1)，法向加速度为an=rω2=230.4(m·s-2)；角加速度为β=dω/dt=24t=48(rad·s-2)，切向加速度为at=rβ=4.8(m·s-2)．（2）总加速度为a=(at2+an2)1/2，当at=a/2时，有4at2=at2+an2，即．由此得，即，解得．所以=3.154(rad)．（3）当at=an时，可得rβ=rω2，即：24t=(12t2)2，解得：t=(1/6)1/3=0.55(s)．gtgtdtddtdyvvtvdtddtdxvyx======)21()(20022022)(gtvvvvyx+=+=2220220()()tdvdgtavgtdtdtvgt==+=+taagn!!!+=220022)(gtvgvagan+=-=t22229.858.3630(9.85)tamS-´==×+´22212.5)58.9(30308.9-×=´+´=Sman324tq=+q3ntaa=23rrwb=22(12)243tt=33/6t=3242(13/3)tq=+=+1-10质点沿半径为的圆周按＝的规律运动，式中为质点离圆周上某点的弧长,，都是常量，求：(1)时刻质点的加速度；(2)为何值时，加速度在数值上等于．解：（1）则加速度与半径的夹角为（2）由题意应有即∴当时，1-11一无风的下雨天,一列火车以v1＝20.0m·ｓ-1的速度匀速前进,在车内的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂线成75°角下降．求雨滴下落的速度v2．(设下降的雨滴作匀速运动)解：这是一个相对运动的问题．设雨滴为研究对象,地面为静止参考系Ｓ,火车为动参考系Ｓ′．v1为Ｓ′相对Ｓ的速度,v2为雨滴相对Ｓ的速度,利用相对运动速度的关系即可解．解以地面为参考系,火车相对地面运动的速度为v1,雨滴相对地面竖直下落的速度为v2,旅客看到雨滴下落的速度v2′为相对速度,它们之间的关系为(如图所示),于是可得Rs2021bttv-s0vbttbbtvtsv-==0ddRbtvRvabtvan202)(dd-==-==t240222)(Rbtvbaaan-+=+=t20)(arctanbtvRbaan--==tj2402)(Rbtvbba-+==0)(,)(4024022=-Þ-+=btvRbtvbbbvt0=ba=1'22vvv+=1-12一船以速率＝30km·h-1沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率＝40km·h-1沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何?解：（1）大船看小艇，则有，依题意作速度矢量图如图(a)由图可知方向北偏西（2）小船看大船，则有，依题意作出速度矢量图如图(b)，同上法，得方向南偏东。1o12sm36.575tan-×==vv1v2v1221vvv!-=1222121hkm50-×=+=vvv°===87.3643arctanarctan21vvq2112vvv!-=5012=v1hkm-×o87.36