2.2.3-向量数乘运算及其几何意义

2.2.3向量数乘运算及其几何意义1.向量加法三角形法则aAbBCabaaAbBbOCab特点：首尾相接特点:共起点babBaABAabO特点：共起点，连终点，方向指向被减向量2.向量加法平行四边形法则3.向量减法三角形法则复习回顾:实际背景33,aa一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应向量那么在同方向上秒的位移对应的向量用表示，试画出该向量,看看它们有何关系？a3a思考：已知非零向量,作出和,你能说明它们的几何意义吗？aaaa()()()aaaaBACOaaaNMQPaaaOCOAABBCaaaPNPQQMMNaaa（）（）（）3a记作-3a记作一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，aa||||||;aa（1）（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反。aa0aa0特别的，当时，00.a一.向量数乘的定义它的长度和方向规定如下：a3(2)a3(2)a6a=abab22ab2a2b2()22abab326222,()()(),,,(),aaaababab(1)根据定义求作向量和　为非零向量并进行比较，看看它们有何关系？(2)已知向量求作向量和并进行比较，看看它们有何关系？探究设为实数，那么,(1)()();(2)();(3)().aaaaaabab特别的，我们有()()(),().aaaabab向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量，以及任意实数，恒有ab，1212().abab12,,例1.计算：34322332(1)(2)(3)();()();()().aababaabcabc13412()()aa　原式233225()ababab　原式解:二.例题讲解3233252()abcabcabc　原式2263)3(342);3()2(2)4()0.abcabcxaxaxabx计算:(1)（　　（2）已知　　求141269126abcabc解：（）原式13a233244440xaxaxab（）原等式可化为34xab340xab整理得　练习:思考:0().aabba向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使向量共线定理(重点)abba问题二：如果向量与共线　　　　那么，？abbaab对于向量与，以及实数问题一：如果　　　　那么，向量与是否共线？(0)a例2.如图，已知任意两个向量，试作ab、2,3.OBabOCab,OAab你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？abab2b3bABCO解:2-()3-()2ABOBOAababbACOCOAababb2ACAB,,,ABC所以三点共线练习:如图，已知AD=3AB，DE=3BC，试判断AC与AE是否共线。ADECBAEADDE解：333()3ABBCABBCAC.ACAE与共线ABCMabD,,,,,,.ABCDMABaADbabMAMBMCMD例3.如图,的两条对角线相交与点且你能用表示和111222MCACab1111()2222MDMBDBabab1111()2222MAACabab　1111()2222MBDBabab:.ABCDACABADabDBABADab解在中()如图所示，D是ABC的边AB上的中点，则向量CD　　11221122Ａ．BCBA　　　　　Ｂ．BCBA　C．BCBA　　　　　Ｄ．BCBA练习:ADCBA二、定理的应用：1.证明向量共线2.证明三点共线:AB=λBCA,B,C三点共线3.证明两直线平行:AB=λCDAB∥CDAB与CD不在同一直线上直线AB∥直线CD一、①λa的定义及运算律②向量共线定理b=λa向量a与b共线课堂小结:(0)a3334220()A.ba(a),a,bB.mab,nab,m//nC.a,bab.D.abcabc1.下列各式叙述不正确的是为非零向量则共线则若共线,则存在唯一的实数使得,则练习:C1321123333ABCDABD=2DB,CD=CA+C,()A.B.C.-D.-AB2.在三角形中,已知是边上一点,若则A33.,,,,,()....oABCDABCabcODAabcBabcCabcDabc已知一点到平行四边形的个顶点的向量分别为则向量等于B4.已知四边形ABCD中，E、F分别是AD和BC的中点，求证：12EF(ABDC)1212124.eeeeekek6.设，是两个不共线的向量，而和2共线，求实数的值12124eeeke　解：　向量和2共线12124,()ekeee　　存在实数使得28k　　24k　由向量相等的条件,得0()aa5.求已知向量的单位向量.1321123333ABCDABD=2DB,CD=CA+C,()A.B.C.-D.-AB7.在三角形中,已知是边上一点,若则名师一号P79练习:AP91A组911作业:思考题:1212124.eeeeekek2.设，是两个不共线的向量，而和2共线，求实数的值12124eeeke　解：　向量和2共线1212,(4)ekeee　　存在实数使得28k　　24k　由向量相等的条件,得(0)aa1.求已知向量的单位向量.