电子科技大学-随机过程-覃思义-第三章sjgc3.3

电子科技大学一、计数过程与泊松过程在天文，地理，物理，生物，通信，医学，计算机网络，密码学等许多领域，都有关于随机事件流的计数问题，如：盖格记数器上的粒子流；电话交换机上的呼唤流；计算机网络上的（图象，声音）流；编码（密码）中的误码流；§3.3泊松过程(一)§3.3泊松过程(一)电子科技大学交通中事故流；细胞中染色体的交换次数，…均构成以时间顺序出现的事件流A1,A2,…定义3.3.1随机过程{N(t),t≥0}称为计数过程(CountingProcess),如果N(t)表示在(0,t)内事件A出现的总次数.计数过程应满足：(1)N(t)≥0;§3.3泊松过程(一)电子科技大学(2)N(t)取非负整数值；(3)如果st，则N(s)≤N(t)；(4)对于st,N(t)－N(s)表示时间间隔(s,t)内事件出现的次数.)s)tPoisson过程是一类很重要的计数过程.§3.3泊松过程(一)电子科技大学Poisson过程数学模型：电话呼叫过程设N(t)为[0,t)时间内到达的呼叫次数,其状态空间为E={0，1，2，…}此过程有如下特点：1)零初值性N(0)=0;2)独立增量性任意两个不相重叠的时间间隔内到达的呼叫次数相互独立;§3.3泊松过程(一)电子科技大学3)齐次性在(s,t)时间内到达的呼叫次数仅与时间间隔长度t－s有关，而与起始时间s无关;4）普通性在充分小的时间间隔内到达的呼叫次数最多仅有一次，即对充分小的Δt,有),(1)(}0)({0tottptNP),()(}1)({1tottptNP),()(}2)({2totptNPkk其中λ＞0.§3.3泊松过程(一)电子科技大学定义3.3.2设计数过程{N(t),t≥0}满足：(1)N(0)=0;(2)是平稳独立增量过程；(3)P{N(h)=1}=λh+o(h),λ0；(4)P{N(h)≥2}=o(h).称{N(t),t≥0)是参数(或速率,强度)为λ的齐次泊松过程.§3.3泊松过程(一)电子科技大学EX.1在数字通信中误码率λ是重要指标，设{N(t),t≥0}为时间段[0,t)内发生的误码次数,{N(t),t≥0}是计数过程,而且满足(1)初始时刻不出现误码是必然的,故N(0)=0;(2)在互不相交的区间nnntttttttt2112110),,[,),,[),,0[出现的误码数互不影响,故N(t)独立增量过程.在系统稳定运行的条件下,在相同长度区间内出现k个误码概率应相同,故可认为N(t)是增量平稳过程.§3.3泊松过程(一)电子科技大学{N(t),t≥0}是平稳独立增量过程；(3)认为Δt时间内出现一个误码的可能性与区间长度成正比是合理的,即有P{N(t)=1}=λt+o(t),λ0；(4)假定对足够小的Δt时间内,出现两个以上误码的概率是关于Δt的高阶无穷小也是合理的,有P{N(t)≥2}=o(t).§3.3泊松过程(一)电子科技大学定理3.3.1齐次泊松过程{N(t),t≥0}在时间间隔(t0,t0+t)内事件出现n次的概率为终上所述,可用Poisson过程数学模型描述通信系统中误码计数问题.可认为{N(t),t≥0}是强度为λ的泊松计数过程.),2,1,0(,!)(})]()({[00nentntNttNPtn§3.3泊松过程(一)电子科技大学})]0()({[})({)(nNtNPntNPtPn记证)1(})()({00ntNttNP平稳增量1o由条件(2)～(4)，得：P0(t+h)=P{N(t+h)=0}=P{N(t)=0,N(t+h)－N(t)=0｝=P{N(t)=0}P{N(t+h)－N(t)=0}增量独立=P0(t)[1－λh+o(h)]hhotPhtPhtP)()()()(000§3.3泊松过程(一)电子科技大学)0)0()1((,1)0()()(,0000NPtPdttdPh条件得令.0,)(0tetpt解得2o当n≥1,根据全概率公式有)()()()()(110hptphptphtpnnnt](t+h]§3.3泊松过程(一)电子科技大学)()()()1()(1hothptphhtpnnnhhotPtPhtPhtPnnnn)()()()()(1dttdPhn)(,0得令)()(1tPtPnn两边同乘以eλt后移项整理得)2()()]([1tpedttPedntnt当n=1,则§3.3泊松过程(一)电子科技大学0)0()()]([101PeetPedttPedttttttetp)(1解得成立假设tnnenttP)!1()()(11代入(2)式有)!1()()()]([11nttpedttPednntnt§3.3泊松过程(一)电子科技大学)(tPentCntn!)(利用初始条件可证得,0)0(nPtnnenttP!)()(对一切n≥0均成立.定理证明反之亦然,得泊松过程的等价定义：定义3.3.2′设计数过程{N(t),t≥0}满足下述条件：(1)N(0)=0；§3.3泊松过程(一)电子科技大学(3)对一切0≤st,N(t)－N(s)～P(λ(t－s)),即),2,1,0(,!)]([})]()({[)(kekstksNtNPstk注有})]0()({[})({kNtNPktNP),2,1,0(,!][kekttk(2)N(t)是独立增量过程；问题若N(t)的一维分布是泊松分布,能否推出第(3)条成立?§3.3泊松过程(一)电子科技大学EX.2设{N(t),t≥0}是参数为λ的泊松过程,事件A在(0,τ)时间区间内出现n次，试求:P{N(s)=kN(τ)=n},0kn,0sτ})({})(,)({nNPnNksNP原式解nenknsNNksNP)(!})()(,)({()()[()]!()!()!knkssnsseeneknk§3.3泊松过程(一)电子科技大学knkssknkn1)!(!!.,,2,1,0,1nkssCknkkn二、齐次泊松过程的有关结论1.数字特征,0t因对N(t)～P(λt).均值函数ttNEtm)}({)(方差函数ttD)(§3.3泊松过程(一)电子科技大学ttNE)}({有称λ为事件的到达率λ是单位时间内事件出现的平均次数.协方差函数C(s,t)=λmin(s,t)，相关函数R(s,t)=λmin(s,t)+λ2st.§3.3泊松过程(一)电子科技大学2.时间间隔与等待时间的分布tW1W2W3W4…N(t)轨道是跃度为1的阶梯函数用Tn表示事件A第n－1次出现与第n次出现的时间间隔.§3.3泊松过程(一)电子科技大学niinTW1有iiiWWT1和Wn为事件A第n次出现的等待时间(到达时间).定理3.3.2设{Tn,n≥1}是参数为λ的泊松过程{N(t),t≥0}的时间间隔序列，则{Tn,n≥1}相互独立同服从指数分布，且E{T}=1/λ.证(1)因{T1t}={(0,t)内事件A不出现}P{T1t}=P{N(t)=0}=e－λt§3.3泊松过程(一)电子科技大学0,1}{1)(1tetTPtFtT即T1服从均值为1╱λ的指数分布.(2)由泊松过程的平稳独立增量性,有P{T2t|T1=s}=P{在(s,t+s)内事件A不出现|T1=s}T1=sT2t+s=P{N(t+s)－N(s)=0}=P{N(t)－N(0)=0}=P{N(t)=0}=e－λt与s无关§3.3泊松过程(一)电子科技大学故T2与T1相互独立，且T2也服从均值为1/λ的指数分布.(3)对于一般n＞1和t＞0以及r1，r2，…，rn-10,有P{Tnt|Ti=ri,1≤i≤n－1}=P{N(t+r1+…+rn－1)－N(r1+r2+…+rn－1)=0}=P{N(t)－N(0)=0}=e－λt..0,1}{)(tetTPtFtnn即§3.3泊松过程(一)电子科技大学定理3.3.3参数为λ的泊松过程{N(t),t≥0},事件A第n次出现的等待时间服从Γ分布,其概率密度为：0,0;0,)!1()()(1ttntetfntnW注：在排队论中称Wn服从n阶爱尔朗分布.｛Wn≤t}={N(t)≥n}={(0,t)内A至少出现n次}证因Wn是事件A第n次出现的等待时间,故§3.3泊松过程(一)电子科技大学nktknwtekttWPtFn0,!)(}{)(nknktkkWwektkttFtfnn,]!)()!1()([)()(1.0,)!1()(1tntent3.到达时间的条件分布§3.3泊松过程(一)电子科技大学引理3.3.1设总体X有概率密度f(x)，X(1),X(2),…X(n)是X的简单随机样本生成的顺序统计量(orderstatistics)，其概率密度为)()()(!),,,(2121nnxfxfxfnxxxp.21nxxx当定理3.3.4设{N(t),t≥0}是Poisson过程，已知在(0,t]时间内A出现n次,这n次到达时间W1,W2,…,Wn的联合条件分布密度为§3.3泊松过程(一)电子科技大学.,00,!))(,,,(121其他nnntttnntNtttfW1,W2,…,Wn与n个相互独立同服从[0,t]上均匀分布随机变量U1,U2,…,Un的顺序统计量U(1),U(2),…,U(n)有相同分布,而且.n21注1§3.3泊松过程(一)电子科技大学注2W1,W2,…,Wn可视为由相互独立在（0，t）上均匀分布随机变量U1,U2,…,Un所得的顺序统计量.nkknkkUU11)(§3.3泊松过程(一)电子科技大学Ex.4设到达电影院的观众组成强度为λ的Possion流,如果电影从t时刻开演，计算(0,t]内到达电影院的观众等待时间总和的数学期望.设Wk是第k名观众到达时刻，在(0,t)内到达的观众数为N(t),则总等待时间为解)(1)(tNkkWt根据全数学期望公式§3.3泊松过程(一)电子科技大学])([)(1tNkkWtE]})()([{)(1tNkktNWtEE,1n对])()([)(1tNkkntNWtE]})([)(1ntNWEnttNkk由定理3.4.3知W1,W2,…,Wn与[0,t]上均匀分布相互独立随机变量的顺序统计量U(1),U(2),…,U(n)有相同的分布函数.§3.3泊松过程(一)电子科技大学])([)(1ntNWEtNkknkknkknkkntUEUEUE111)(2)(12()12121()(,,)nnNtknnkttttftttndtdtdt22])()([)(1ntntntntNWtEtNkk随机变量函数的条件期望公式§3.3泊松过程(一)电子科技大学])([)(1tNkkWtE]})([{1tNkktNWtEE.2]2[2ttNtE)(2)]()([)(1tNttNWtEtNkk§3.3泊松过程(一)电子科技大学